Треугольник Паскаля: размышления о математике

Посвящается Александре, женщине с математическим прошлым.

Меня вновь скрутило от удушающего кашля. При каждом выдохе, сопровождающимся звуком, похожим на собачий лай, казалось, что голова вдруг стала больше в объеме, а вот мозг остался прежним и поэтому от резких дерганий его больно шмякало о внутренние стенки черепа. Прокашлявшись и морщась от боли, я жадно выпил полстакана воды, стояшего на тумбочке у кровати и бессильно обрушился на мокрую от пота подушку. Меня лихорадило и дополнительное одеяло поверх обычного не помогало. Рукавом майки я вытер пот со лба и повернулся в другую сторону. Испуганно мяукнул кот. С вкрадчивым шуршанием где-то глубоко в трахее вновь зарождался приступ кашля.

Я не думал, что свалюсь так стремительно. Грипп, шастающий в округе, наконец то добрался и до меня. Мелкой дрожью тряслись мерзнующие ладони и стопы. Реальность вокруг казалась мутной, как наваристый куриный бульон, которым я пробовал закусить перед тем как у меня подскочила температура до полуденного уровня где-нибудь в Акапулько в августе.

С усилием приподняв голову я выглянул в окно. За стеклом буянила весна. Клен, как рождественская елка, был увешан набухшими почками. Начинала розоветь сакура своим нежным, словно щеки младенца, цветом. Верхушка горы за рекой на горизонте все еще белела, но зеленая кайма кедров подбиралась все ближе к снежной макушке. Гора мне смутно напомнила что-то. Собрав в кулак остатки сознания, я вспомнил, что на днях я напряженно размышлял над одной замысловатой комбинаторной задачей, где главным фигурантом выступал с виду нехитрый объект под названием треугольник Паскаля. Упав на подушку я погрузился в тревожное забытье.

Мне снился этот треугольник, безобидно начинающийся сверху с однозначных чисел и бесконечно разрастающийся вниз, лавинообразно покрывающийся уродливыми числовыми монстрами, вписывать которые уже не хватало места. Его ровные стороны безобидно содержали в себе лишь простенькие единицы, но стоило сделать несколько шагов вглубь, как они начинали решительно сменяться куда большими значениями. Я уныло бродил во сне по необъятной площади этого треугольника, нервно рассматривая числа и судорожно ловя обрывки мыслей о том, какая же все-таки закономерность в этой числовой вакхналии могла бы мне помочь в решении моей задачи. И вдруг где-то недалеко мне послышался тихий голос:

- Ты знаешь, у меня тоже голова болела бывало. Бывало так болела, что невмоготу.

Странный французский акцент голоса меня почему-то успокоил. Повернувшись, я увидел самого Паскаля, сидящего по-киргизски скрестив ноги на одном из тех огромных чисел, что подавляют психику и вызывают уныние. Паскаль выглядел очень похоже на то, как его изображают на средневековых гравюрах - с длинными вьющимися волосами, отрешенным взглядом, с несуразно большим белым воротником, окольцовывавшим шею. Он спокойно смотрел на меня, подбрасывая игральные кости. Кости всегда выпадали вверх однерками. 'Что-то не так. И как он только с такими костями создал теорию вероятностей?', настороженно подумал я.

- Обрати внимание на степени семерок, - вдруг сказал он мне, сунул кости в карман камзола, встал и неторопливо направился в черно-белую числовую даль.

- Ты бы лучше калькулятор[1] для своего треугольника изобрел, - зло бросил я ему вдогонку и подивился собственной грубости.

Я проснулся с сильной жаждой и головной болью.

Skyscraper

В детстве я читал книгу о Паскале из которой мне вспомнилось, что как то раз он признался, что с шестнадцати лет не помнит ни одного дня, чтобы у него не болела голова. Был он по свидетельствам современников не особо атлетичным, зато его способности к математике проявились рано и были ошеломляющи. Когда я был ребенком у меня не было никаких особых склонностей к математике (их, впрочем, нет и сейчас). Школьную программу я усваивал и даже пробовал решать задачи посложнее, что удавалось редко, однако я всегда очень четко осозновал элегантность и изящество многих математических рассуждений. В этом смысле математика была для меня сродни футболу - я никогда бы не смог забивать голы как это делает Рональду или Месси, однако это не мешает мне наслаждаться волшебством их игры.

В ранней юности подавляющую массу детей математика совсем не увлекает и это, в принципе, понятно. Кому же хочется изводить себя логическими выкладками, от которых стонет мозг и кружится голова, когда можно попинать мяч во дворе с друзьями? Да и то эфемерно абстрактное изящество, которое подкупает, появляется куда позже и зачастую факультативно. Однако даже в нудности обычной школьной программы бывали моменты эврики. Некоторые факты, в ретроспективе кажущиеся примитивными, вызывали у меня неподдельный восторг , особенно тогда, когда я был в состоянии додуматься до них самостоятельно. Помниться мне, когда мы проходили таблицу умножения в начале второго класса, я, как и все мои одноклассники, зубрил наизусть все сто значений той таблицы от единицы до десяти. И вдруг, в момент заучивания таблицы на семь, я вдруг осознал, что при умножении десяти на семь совсем необязательно последовательно складывать семерки (что требовало большого ментального напряжения) - вместо этого можно было сложить десятки, причем меньшее количество раз (что было куда проще). Строго говоря это называется коммутативностью умножения и в учебнике об этом упоминалось, но то ли я ловил ворон на уроке (что скорее всего), то ли наша учительница не донесла это до меня - в любом случае радость этого простенького 'открытия' была тогда для меня такой яркой, что я до сих помню о пережитых в тот момент эмоциях. Такого рода открытия в детстве не редкость в биографиях людей знаменитых, причем необязательно ученых.

Взять, скажем, Карла Фридриха Гаусса - один из самых плодовитых математиков в истории. Жизнь корифеев такого калибра всегда окутана туманом легенд. Одна из них рассказывает о том, как будучи ребенком Гаусс придумал кастомизированное, как могли бы сейчас сказать, решение задачи о нахождении суммы ряда натуральных чисел. Вроде бы как учитель математики в тот день гауссовского детства был раздражен непоседливостью класса и дабы усмирить его дал детям довольно нудную задачу - посчитать сумму всех чисел от единицы до ста. Пока все остальные дети трудолюбиво складывали числа по нарастающей, пыхтя и путаясь в промежуточных результатах, Гаусс обратил внимание на любопытную деталь: если складывать числа попарно с разных концов данного интервала, то сумма таких пар всегда будет одинаковой. То есть 1+100 это тоже самое, что и 2+99, а это то же самое, что 3+98 и так далее. Всего таких пар 50. Поэтому сумма всех чисел от одного до ста вычисляется одним махом: 50 x 101 = 5050. Быстро подсчитав, Гаусс весело уведомил учителя, который вероятно только начал вкушать спокойствие и тишину в классе. Скорчился ли учитель от негодования или же, наоборот, был обрадован юным дарованием для истории уже не так важно.

Но это Гаусс, человек серьезно 'наследивший' в науке. А вот Антона Ивановича Деникина, одного из злейших врагов Советской власти, поднимавшего казачий Дон на Красную Армию, вряд можно было бы заподозрить к склонности к математике в раннем детстве. Однако и его биография содержит интересные математические нюансы. Во втором классе средней школы Деникин сильно болел (сначала оспой, потом скарлатиной) и был вынужден пропустить много месяцев обучения. Накопившийся разрыв в образовании откинул его назад и к пятому классу он провалился окончательно и был оставлен на второй год. Все лето он самостоятельно штудировал учебники и решал задачи. В наступившем учебном году с ним произошел интересный эпизод. Учитель предложил ученикам решить задачу из 'Математического журнала' (аналога советского журнала 'Квант') . Летние усилия не прошли даром и Деникин первым решил задачу, получив пятерку. С тех пор его способность решать трудные задачи только улучшалась и он получил прозвище 'Пифагор'. Несмотря на это, ввиду странного стечения обстоятельств, Деникин избрал военную карьеру и вошел в историю как герой Русско-Японской войны и лидер Белого Движения, а не как инженер или ученый.

Математику как дисциплину принято уподоблять зданию. И хотя обычно об этом явно никто не говорит, зданию довольно большому, своего рода абстрактному 'небоскребу'. Со времен первого ученого, заложившего фундамент этого здания, оно непрерывно растет и постоянно перестраивается. Несмотря на все эти постоянные ремонты и модернизации, фундамент во многом остается неизменным. Плиты этого фундамента именуются аксиомами (иногда постулатами) и теоретически они не требуют напряженного размышления, поскольку считаются фактами столь очевидными, что любые рассуждения на их счет попросту излишни. Принято считать, что автором первых аксиом был Евклид, изложивший их в своем труде 'Элементы' (или 'Начала') , посвященном в основном геометрии. Но в детстве я представлял себе мир математики (возможно чересчур примитивно) вовсе не как здание, а как бесконечный склад, в котором можно было найти любое число, любую фигуру или более абстрактный объект типа арифметической прогрессии в явном виде. Отчего-то он казался мне полупрозрачным, быть может из-за того, что все иллюстрации в учебнике геометрии были скучно черно-белыми (не исключено, что делалось это специально, чтобы не затмевать изящество некоторых доказательств). Мир этот в моем представлении обладал одним замечательным свойством - как только что-то было нужным, оно моментально находилось среди мириадов других объектов. И это задолго до эпохи Гугла! Дело оставалось лишь за малым - взять оттуда все, что необходимо и расположить взятое таким образом, чтобы новые факты о свойствах этих объектов или их комбинациях стали очевидными. После этого эти новые свойства прикреплялись к объектам как ярлыки и возвращались на склад на хранение до следующего раза. Бывало правда и такое, что в результате манипуляций над взятым получалось что-то совершенно новое. В таком случае это новое добавлялось на склад в качестве дополнительного инвентаря. Это был наивный, во многом материалистический взгляд на те нехитрые абстракции, что предлагала школьная математика. Годы спустя я узнал, что взгляд этот отчасти резонировал с воззрениями серьезных ученых - Леопольд Кронекер, крупный немецкий исследователь, известен своим высказыванием о том, что 'натуральные числа создал Бог - все остальное дело рук человеческих'.

Аксиомы, эти незыблемые киты, на котором покоится тело математики принимались на веру, сродни религиозной - вопросов по их части не должно было быть в принципе. Однако нет-нет, да и проскакивала шальная мысль о том, что при критическом рассмотрении нечто глубоко ущербное (хотя и не особо очевидное) отличало некоторые из евклидовых постулатов. Скажем та аксиома, что утверждает, что любые две точки на плоскости можно соединить прямой. Точка и прямая это два изолированных и самостоятельных объекта. Если же соединять две точки прямой, то получается, что из двух объектов получается третий - прямая с вкрапленными в нее двумя точками, то есть по сути из прямой получается один отрезок и два луча (полупрямых). От прямой как от отдельного объекта не остается и следа. То есть, может быть имело бы смысл перефразировать аксиому таким образом, что на две точки можно сверху 'наложить' прямую. Но тогда получается, что мы уходим их двумерного пространства в трехмерное. И даже если мы делаем такое наложение в трехмерном пространстве, то таких прямых получается бескочнечно много и аксиома перестает быть предельно простой, приобретая новые смысловые оттенки. Если вернуться к исходной формулировке, то даже если не вдаваться в казуистику с прямой, то взгляд на две отдельные точки сам по себе может завести в темный лес противоречий. В самом деле, если есть две различные точки, то что их делает по сути различными? То, что между ними ничего нет? Но тогда нужно определять это 'ничто', этот, с позволения сказать, планиметрический вакуум, и каким-то образом обращаться с ним. Но тогда мы вводим в обращение новый объект, для которого будут требоваться новые аксиомы.

Чтобы сбросить весь этот балласт логических двусмысленностей, Евклид поступает гениально просто - он игнорирует все возможное аналитическое крючкотворство с фундаментальными объектами и учит делать то же самое всех тех, кто штудирует учебники, базирующиеся на его аксиомах. С точки зрения обучения это очень правильный и едва ли не единственный подход. Молодой энергичный ум следует направлять в продуктивное русло, чтобы базовые логичесие подходы к созданию нового математического знания не затмевались туманом сомнений о том, насколько устойчив тот фундамент, на котором строится сначала нехитрая хижина постепенно перерастающая в массивный skyscraper. Учить математику в этом смысле все равно, что учиться ездить на велосипеде. Можно конечно потратить многие часы на размышления о том оптимален ли механизм передачи мускульной энергии во вращение колес, а можно просто сесть на него и, упав разок-другой, постичь искусство управления этим средством передвижения. На первое можно потратить всю жизнь, второе, как показывает практика, вопрос нескольких часов или -максимум - дней. Приняв на веру с дюжину аксиом можно освоить несколько базовых подходов (доказательство от противного или математическую индукцию, например) , а это уже открывает путь к колоссально богатому пласту информации, знакомство с которым позволит ощутить себя духовно богатым настолько, что разные мелочи жизни типа нехватки монетки-другой на мороженое будут казаться сущими пустяками.

Однако возвращение к фундаментальным истокам иногда все же случаются и в этом случае размышления над ними уже не настолько обескураживающи - имеющийся за плечами математический багаж придает уверенности. Вот тогда то и можно потеоретизировать об апориях Зенона или парадоксе Рассела. Последний формулируется очень просто: если в одной деревне брадобрей должен брить всех тех, кто не бреется сам, и не брить тех, кто сам бреется, что ему делать с самим собой? Если он не будет брить самого себя, то это будет означать, что он не бреется и должен себя брить. Но тогда он не должен себя брить, потому что бреется сам. Что делать несчастному цирюльнику, попавшему в силки этой дилеммы?

Но надо понимать, что не все и не всегда будет гладко. Размышления над подобного рода изворотами мысли иногда чреваты нервным срывом. По некоторым данным, после того как Бертран Рассел открыл этот известный парадокс, он был настолько эмоционально подавлен, что бросил заниматься математикой и посвятил себя философии и борьбе с религией.

В ту далекую эпоху, когда президентом Америки был Джордж Буш, а за 'Приусами' стояли нешуточные очереди из экологически сознательных граждан, боевой американский генерал Вилли Шварцкопф (герой первой войны в Персидском Заливе) позволил себе нелестное высказываение в сторону миролюбивой Франции. Не брать Францию с собой на войну, заметил он, все равно, что не брать аккордеон на охоту. Как то раз в солнечный полдень, стоя в очереди к теллеру в банке, я вспомнил об этом сардоническом замечании пожилого вояки, изгнавшего войска Саддама Хуссейна из Кувейта в 1991 году. Была пятница пятнадцатого. Поскольку канадские работодатели платят работникам либо по пятницам, либо в начале или середине месяца, очередь была впечатляющая. Я томился в ожидании к теллеру, чтобы решить ряд пустяковых финансовых вопросов. Теллеры (или операционисты как их называют в России) были как на подбор молодыми симпатичными девчонками. Они приветливо общались с клиентами, сосредоточенно глядели в мониторы и звонко стучали по клавиатуре. Иногда кое-то из них вытаскивал откуда-то из недр эллиптического деска калькулятор и, уже не так звонко, стучал по нему. Общение же по большей части состояло в обсуждении длинных столбиков чисел, десятичных дробей расположенных в определенном порядке в банковской таблице, которые жили своей отдельной жизнью, подвергаясь разного рода манипуляциям, становясь иногда отрицательными в результате овердрафта, и постоянно стремящихся к нулю в результате дебетовых транзакций, которые балансировали с переменным успехом транзакции кредитовые: кредитовые транзации, в отличии от дебетовых, явление куда более редкое в жизни этих чисел. Числа эти громоздились друг на друга, получали новые названия (кредитные линии, мортгеджи и тп) и заполоняли собой все большее пространство на дисплеях мониторов и бумажных страницах банковских документов. Операционистки виртуозно оперировали тем, чего нет в природе и даже наверное не испытывали в связи с этим никакого ментального дискомфорта. Числа, и все банковские операции с ними связанные, были настолько естественны в рутинном функционировании этого банка, что мысли о математике как таковой были так же излишни как и аккордеон на шварцкопофской войне. Та математика, что являлась передовой в исследованиях аль Хорезми[2] десять веков тому назад, была составляющей частью банковского бизнеса о которой никто не задумывался как об отдельной компоненте, подобно тому как бегун-марафонец не задумывается о том, каким образом движутся в пространстве его нижние конечности, фокусируя внимание на других показателях таких как скорость и выносливость.

Несуществующие в материальной природе числа чрезвычайно прочно вошли в управление нашей материальной жизнью на всех мыслимых уровнях, от покупок в гастрономе до запуска межпланетных аппаратов. Факт того, что знак нуля - эта квинтэссенция того, чего нет - используется практически везде, где речь идет о чем-то вполне реальном, можно рассматривать как своего рода божественную иронию. В перечне эпохальных изобретений человечества изобретение нуля стоит особняком как особенно выдающееся, поскольку только с введением нуля стала возможной позиционная запись цифр (которые мы теперь называем арабскими), что привело к быстрому развитию сначала бухгалтерии, а потом и математики. Эволюция нуля за последние тысячу лет хорошо описывается строчкой из 'Интернационала' - кто был никем, тот станет всем. Но несмотря на то, что он 'стал всем', определение его по прежнему ограничивается ничем - экзистенциальной пустотой, размышляя о которой становится страшно оставаться одному в полутемной комнате.

О Божественном

В двенадцатом веке Маймонид[3] писал, что если слова в сновидении ясны и отчетливы, а говорящего не видно, то слова эти произносятся Богом. Размышляя о своих снах, я не могу вспомнить ни одного подобного эпизода; в них если и присутствуют какие-то разговоры, то всегда с людьми (или существами) конкретными, хотя и не всегда знакомыми. Разного рода видения, подобные тому, что по преданию было ниспослано свыше отроку Варфоломею, мне переживать тоже не приходилось. Брайан Грин (Brian Greene) в своей книге о параллельных мирах, будучи физиком-теоретиком до мозга костей, излагает свой взгляд на божественное; несмотря на то, что я открыт к любого рода возможностям, пишет он, до сих пор я не видел и не переживал (даже умозрительно) ничего такого, что не укладывалось бы в (пусть даже еще до конца не открытые) законы физики. Эта точка зрения по сути разделяется довольно большим количеством известного мне народу, хотя в большинстве своем неосознанно. Во многом разделялась бы она и мной, если бы не некоторые обстоятельства, одно из которых - кое-какие известные мне факты из математики. Факты эти косвенно (только косвенно!) намекают на существование божественного. Рискуя подвергнуться осмеянию читателями, подкованными в философских диспутах лучше чем я, все же возьму на себя смелость изложить парочку из них.

В 1922 году в Нью Йорке Джордж Плимптон, успешный бизнесмен занимавшийся издательским делом, приобрел необычный объект у дилера, специализировавшего на торговле археологическими артефактами. Объект представлял из себя странный неровный прямоугольник из глины, на котором было изображено большое количество загадочных, но вполне упорядоченных символов. Согласно дилеру, объект был извлечен на белый свет в ходе раскопок в Южном Ираке. Плимптон завещал свою коллекцию артефактов Колумбийскому Университету, который их в конечном итоге и получил. При регистрации объект получил номер 322 и тех пор известен науке как 'Плимптон 322'.

Объект этот с тех пор подвергался всестороннему изучению. Датирован он примерно 1800 годом до нашей эры, а изображенные символы дешифрованы как вавилонская клинопись. Предназначение этой глиняной таблички до конца неясно; одна гипотеза говорит, что это своего рода справочник, которым пользовались администраторы того времени, другая утверждает, что это учебник для студентов.

Однако самое интересное это непосредственно содержание написанного на табличке. Одна из интерпретаций, представляющаяся наиболее правдоподобной - написанное это пятнадцать примитивных пифагоровых троек. Пифагоровы тройки это числа удовлетворяющие уравнению:

a² + b² = c²

Где a, b и с это целые положительные числа. Геометрическая интепретация этого уравнения - прямоугольный треугольник, где a и b это катеты, а c - гипотенуза. Примитивные же тройки это такие числа, которые удовлетворяют этому уравнению и при этом не имеют общих делителей.

Существует масса доказательств теоремы Пифагора, геометрической интерпретации этого уравнения. Однако принято считать, что сама концепция математического доказательства появилась лишь с работами Евклида примерно через полторы тысячи лет после того как эта глиняная табличка была создана неизвестным жителем Месопотамии для неясных нам целей. Мы никогда не узнаем в каком состоянии была математика с точки зрения доказательств в Южном Ираке в 1800 году до нашей эры, однако можно предположить (это крайне спекулятивно!), что поскольку набор конкретных значений этих троек был выписан на отдельную табличку, то никаких алгоритмов для генерирования таких троек у вавилонян не было, а конкретные значения были получены либо эмпирическим путем, либо заимствованы откуда-то еще.

В строке 11 этой таблички приведена запись самой простой примитивной пифагоровой тройки: a=3,b=4,c=5 (нетрудно убедиться, что 3 x 3 + 4 x 4 = 5 x 5). Если вавилоняне пытались искать пифагоровы тройки экпериментально, то найти эту тройку было наиболее просто. Во-первых это последовательные числа. Во-вторых они начинаются практически сразу в натуральном ряду. В-третьих проверить то, что они удовлетворяют уравнению очень просто - простота проверки очень важна, поскольку ноль еще не изобретен и позиционной записи чисел арабскими символами еще не существует, что делает любые математические операции с достаточно большими значениями невероятно трудными (тем более, что вавилоняне использовали не десятичную систему записи, а 60-ичную).

Теперь зададим себе вопрос - а почему пифагоровы тройки могли быть столь ценным знанием в Древнем Вавилоне, что их выписывали на отдельные глиняные таблички и скорее всего тщательно оберегали, непреднамеренно увеличивая тем самым шансы, что они дойдут до нас? Известно, что античные цивилизации, такие как Древний Египет и Древний Вавилон были земледельческими обществами, в которых аграрная обработка земли была если не главной, то одной из основных хозяйственных отраслей. В подобного рода фермерской деятельности неизбежны диспуты при разделе обрабатываемой земли, которые все вовлеченные стороны заинтересованы решать как можно более справедливо. Предположим теперь, что двум фермерам надо провести четкую и справедливую границу между их участками. Предположим, что у обоих из них участки это прямоугольники, на которые надо разделить больший по размеру прямоугольник. Как провести границу? Очень просто - ее надо провести так, чтобы она начиналась и заканчивалась под прямым (90 градусов) углом. Но как построить прямой угол так, чтобы это было вычислимо честно для обоих сторон? Вот тут то и оказываются полезными пифагоровы тройки и их геометрическая интерпретация. Зная тройки сделать это можно просто, быстро и вычислимо честно для обоих фермеров не имея при этом никаких специальных инструментов кроме достаточно длинной веревки и нескольких колышков.

Но какое отношение все это имеет к проявлению божественного? Мне кажется, что косвенный намек на божественность таится как раз в эмпирической простоте первой примитивной пифагоровой тройки. Обнаружив ее экспериментально, можно существенно снизить напряженность в аграрном обществе, при этом получив мощный импульс к поискам других пифагоровых троек. Она колоссально полезна в практическом плане. Почему первая тройка такая простая? Почему она состоит из последовательных чисел практически в самом начале числового ряда? Почему ее так легко проверить в уравнении, даже без позиционной десятичной записи? С точки зрения логики и доказательства теоремы Пифагора ни к чему не придраться - да тройка, да простая, да, возможно полезная для дележа земельных угодий. Однако несмотря на жесткие тиски логики, странное чувство того, что характеристики этой тройки не случайны все-таки остается зудеть странным ощущением ментального неудобства где-то глубоко в сознании.

Другой пример касается уже упоминавшихся прогрессий. Самый простой вариант такой прогрессии - тот самый с которым имел дело ребенком Гаусс из упоминания выше:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n

Сумма это прогрессии вычисляется просто: S = n(n+1)/2 (собственно это и показал школьник Гаусс для частного случая, когда n=100). Вполне закономерный вопрос, а как будет выглядеть формула суммы, если каждый член прогрессии будет квадратом числа:

1² + 2² + 3² + ... + n²

Формула для такой прогрессии куда более громоздка: S=n(n+1)(2n+1)/6

Хорошо, сделаем еще один шаг и посмотрим на формулу суммы кубов:

1³ + 2³ + 3³ + ... + n³

Тут нас ждет неожиданный сюрприз, поскольку формула для вычисления суммы последовательных кубов это не что иное как квадрат самой первой формулы, где степень равна единице, то есть:

1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = (1 + 2 + 3 + ... n)² = (n(n+1)/2)²

Вот это факт вновь создает странное, едва заметное, но ощутимо свербящее чувство того, что все это не случайно. И опять же с точки зрения логики тут совершенно не придраться - формула доказывается вполне исчерпывающе по методу математической индукции. Но отделаться от мысли, что все это создано (кем то?) специально для нашего 'математического' комфорта довольно непросто.

Я привел эти два примера потому что они наиболее простые из пришедших мне в голову. Факты с подобной эмоциональной составляющей становятся куда более часты и даже, если можно так выразиться, заурядны, если углубляться в более сложные области, такие как математический анализ или теория цепных дробей. В этом смысле (это прозвучит богохульством) математика таит в себе больше откровений, чем иные проповеди.

И тут возникает странный эффект - изучая математику к закономерностям начинаешь привыкать настолько, что чувство того, что дело то на самом деле приходится иметь с хаосом существенно притупляется. Происходит это из-за того, что по сути вся известная математика, кроме тех прифронтовых областей, где идут передовые исследования, не что иное как коллекция уже отысканных и даже иногда практически полезных закономерностей в искусственно созданном, материально несуществующем мире. Иногда за деревьями найденных закономерностей практически не видно темного леса первозданного математического беспорядка. Поэтому когда хаос вдруг выходит на первый план и заявляет о себе, становится неуютно. Примером последнего могут служить простые числа (и их многочисленные разновидности), чье распределение в числовом ряду удивительно успешно ускользает от прямых паттернов, подчиняясь лишь не всегда элегантным и почти всегда весьма сложным аппроксимациям.

Однако, если исходить из предположения, что ничего сверхестественного нет, а есть всего лишь что-то до конца не объясненное, то можно предположить почему была создана концепция Бога. Бог был создан (да простят мне верующие это словоблудие) как инструмент борьбы с парализующим ступором бесконечности. Попытки объяснения мира вокруг очень часто наталкиваются на необходимость рассмотрения бесконечности в той или иной форме. Конечен ли космос или бесконечен? Конечна или бесконечна материя, если рассматривать все более мелкие ее составляющие (физики достаточно регулярно вводят в обиход новые элементарные частицы)? Конечна ли жизнь человека или же есть что-то на нее похожее после смерти? Или вот старая притча о том, что земля покоится на слонах, которые, в свою очередь, стоят на огромной черепахе. Закономерный вопрос слушателя этой притчи будет следующим - а на чем стоит черепаха? Тут то и удобно сделать аутсорсинг объяснений, аппелировав к чему то сверхестественному. Парадоксальным образом математика, объективно существующая нематериальная реальность, изобилующая разного рода бесконечностями, обходится без аппеляций к божественному в этих вопросах.

В трущобах

Борхес приписывает следующее высказывание одному из ересиархов мифической страны Укбар - зеркала и совокупления отвратительны, ибо умножают количество людей. Это высказывание имеет отношение к комбинаторике, ветви математики в которой изучаются комбинации и число комбинаций из разных объектов (это очень нестрогое определение). Когдя я размышляю над почти любой комбинаторной задачей, мне вспоминается эта максима - количество комбинаций в комбинаторных рассуждениях очень часто растет так стремительно, что зеркала и совокупления моментально оказываются во второй лиге по части умножения как людей, так и любых других объектов. Если бы данный ересиарх сталкивался в своей еретической деятельности с комбинаторикой, то вполне возможно ему пришлось бы подкорректировать свое высказывание.

Английский математик Генри Уайтхэд охарактеризовал комбинаторику как-то раз как 'трущобы топологии'. Считается, что тогда еще не оперившаяся комбинаторика не могда восприниматься как серьезная наука (такой подход достаточно стандартен при эволюции многих новых направлений, в том числе в технологиях и в бизнесе). Трущобы или нет, тогда или теперь, одна особенность комбинаторики заслуживает упоминания.

Мы все весьма различны в своих ментальных способностях и увлечениях. Кто-то прекрасно разбирается в автомобилях, оставаясь при этом совершенно равнодушным к живописи Рене Магритта; кто-то замечательно ведет жесткие деловые переговоры, но при этом не умеет готовить. Это нормально (и даже более того). При этом, если человек разбирается в автомобилях, то велик шанс, что и газонокосилку он тоже сможет починить. Казалось бы, если человек шарит в геометрии, то и в комбинаторике он не будет теряться. Вот тут то и пролегает невидимый барьер, делающий совершенно непохожими отношения 'автомобиль-газонокосилка' и 'геометрия-комбинаторика'. Давным давно один мой знакомый физик, изучавший поверхности твердых тел, в сердцах рявкнул, что 'поверхность создана дьяволом' (позже он признался, что авторство фразы принадлежит не ему) - то же самое можно сказать о комбинаторике, требующей куда более серьезных ментальных усилий для постижения ее концепций, нежели остальная математика с которой я когда-либо был знаком.

Задачи в комбинаторике очень часто формулируются просто, если не сказать примитивно. Вот пример одной такой задачи, над которой мне пришлось как следует попотеть, не говоря уже о многочасовых штудированиях материала по теме в учебниках и интернете (что в современном мире почти одно и тоже).

Сколькими способами 10 одинаковых монеток можно разложить на разные кучки?

Под кучками тут подразумеваются разные варианты раскладок. Ну например одним вариантом может быть: три кучки и 1, 2 и 7 монеток в каждой. Или четыре кучки: 2, 2, 2 и 4 монеток в каждой.

Это для разминки, а вот более суровый вариант:

Сколько минимум надо иметь одинаковых монеток, чтобы число их разложений на различные кучки делилось на миллион?

'Поверхность дьявола' проявляет себя в этой задаче почти сразу. Штурмуя первый вариант с помощью компьютера, можно построить незамысловатый алгоритм, который довольно быстро выдаст нужное число (это число 42). Если попробовать применить найденное решение для 50 монеток, то компьютер будет пыхтеть довольно долго (несколько минут в зависимости от процессора и памяти), прежде чем с негодованием выплюнуть ответ. Если увеличить число монеток до 1000, то наша обычная машина, созданная для таблиц в Экселе, текстовых документов и шастания по интернету, предсмертно загудит и, как выражается один мой друг, упадет на бинарные карачки.

Еще один совершенно неочевидный эффект этой задачи кроется в понимании как рассматривать эти искомые кучки. На любое такое разложение можно смотреть двояко - можно придавать значение порядку разложения, а можно не придавать (компьютерные решения выше были без учета порядка). То есть, если у нас четыре монетки, то в первом случае разложения (1,3) и (3,1) будут считаться разными, а во втором - одинаковыми. Так вот оказывается задача (с десятью монетками или трудный второй вариант) решается значительно проще, если рассматривать комбинации с учетом порядка. Таких комбинаций, очевидно, будет существенно больше; парадокс однако в том, что число этих комбинаций найти существенно проще.

Что касается варианта, где порядок не важен, то на помощь приходят результаты великого русского (или швейцарского - возможны варианты) ученого Леонарда Эйлера. И хотя вопрос этот он начал изучать в далеком 1740 году, полученные им формулы до сих пор потрясают своей неожиданностью. Не сложностью, нет. Они достаточно просты. Именно неожиданностью, потому что Эйлер рассматривал совершенно другую задачу, когда пришел к формуле для решения задачи с монетками. [4]

Если выразить в нескольких словах, что является самом главным в решении комбинаторных задач, то ответ мог бы быть таким - умение найти то, что можно игнорировать. Вместо перебора большого количества вариантов надо уметь найти и не рассматривать те, что можно проигнорировать. И сделать это почти всегда невероятно трудно, хотя альтернатива часто еще хуже - бывает так, что полный перебор всех вариантов в невинно сформулированной задаче превышает время жизни Вселенной даже если на анализ одного варианта тратятся доли секунды. [5]

Возможно это зависит от склада ума, но мой опыт показывает, что комбинаторика как ветвь математики едва ли не самая сложная в концептуальном плане (из тех ветвей с которыми я соприкосался). Это не означает, что остальная математика проста; это означает, что разобраться в уже найденном кем-то решении или доказательстве комбинаторной задачи почему-то намного труднее, чем если задача была не комбинаторной. Я уж не говорю про решить такую задачу, что лично для меня явление довольно редкое. Довольно интересное комбинаторное соображение, не имеющее, кстати, прямого отношения к математике, я обнаружил у Стивена Пинкера, специалиста в когнитивной психологии. Любая новая идея, считает он, это когда уже известные факты и концепции, 'вращающиеся' в голове выпадают в новую комбинацию, которой до этого еще не было, подобно тому как цифры и фигуры выпадают в одну линию на слот-машинах в Вегасе. То есть что-то новое это всего лишь новая комбинация из уже известного. Если вдуматься, то почти все (но не все!) новые идеи рождаются именно так. И видимо эти моменты и принято называть моментами эврики. Комбинаторные 'трущобы' кишат яркими идеями словно река Фрезер горбушей в феноменальном нересте осенью 2013 года. Проблема лишь в том, что для их постижения надо с такой силой фокусировать ментальные ресурсы, что после того как решение какой-нибудь невинно сформулированной задачи стало все таки понятным, хочется только одного - много холодного пива и тишины.

Пустота, простота и творчество

Один из создателей математического анализа (и заодно комбинаторики, что менее известно), немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц, был еще и философом, что типично для ученых той буферной эпохи между Ренессансом и новым временем. Поле его философских интересов было весьма разнообразно, но пожалуй что самая странная философская концепция из рассматривавшихся им это пространственный вакуум или просто полная пустота.

Лейбниц полагал, что пространство как таковое это не более чем совокупность взаимосвязей между разными объектами и если этих объектов нет, то и пространства тоже нет. То есть рассматривать пространство в отрыве от наполняющих его объектов практически тоже самое, что рассматривать улыбку чеширского кота[6] без самого кота.

Но бывает ли, пусть даже умозрительно, полная пустота? Можно попробовать представить себе Вселенную с ее немыслимым количеством объектов и начать мысленно удалять эти объекты из нее один за другим. После гигантского количества этих умозрительных удалений, мы придем к полной пустоте. Но что такое пустота? Включает ли она в себя объекты нематериального характера? Как быть, скажем, с теми же пифагоровыми тройками или биномом Ньютона? Ведь это вещи существующие объективно, хотя и не являющиеся материальными. Гордон Харди заметил, что Архимеда будут помнить, когда Эсхила забудут, потому что языки умирают, а математические идеи - нет. Если математические идеи действительно вечны, то может ли существовать полная пустота? Можно конечно предположить, что с мысленным удалением последнего учебника математики, последнего математического вебсайта и последнего студента, изучающего математику из рассматриваемой Вселенной, все математические идеи также исчезнут. Но можно взглянуть на вещи и по другому - они не исчезнут, а просто перестанут быть открытыми. И будут оставаться таковыми до тех пор пока 'новый' Пифагор не откроет свои тройки, а 'новый' Ньютон не откроет свой бином. В этом смысле полной пустоты наверное нет (но как это на самом деле я судить не берусь).

Как создавалась математика и где ее начало вряд ли станет когда либо известно. Почему в глубокой древности кому-то пришло в голову абстрагироваться от землемерия[7] и пересчета баранов и начать ментальные игры с числами и фигурами без какой-либо конкретной практической цели? Создание чего-то весьма впечатляющего без очевидного практического применения весьма свойственно виду Homo Sapiens с древнейших времен, в чем нас красноречиво убеждают наскальные росписи в пещерах Ласко и Альтамира. (Кстати, автор данного текста не питает каких-либо иллюзий относительно практического применения этого текста, продолжая его при этом писать). Однако, получив такой импульс когда-то в седую старину, такое абстрагирование положило начало весьма специфичной ментальной активности, которое можно условно назвать математическим творчеством. Пифагор и Ньютон в этом смысле были всего лишь более успешными на этом поприще, чем легион других, (что, конечно же, ни в коем случае не умаляет их заслуг), смогшие 'открыть' то, что было столь долго скрыто от нашего понимания даже без той жутковатой пустоты, упомянутой выше.

Математические творчество можно разделить на два вида. То, что попроще, предполагает решение уже сформулированных кем-то (и почти всегда уже решенных) задач. Второе же предполагает способность ставить такие задачи самостоятельно, что на самом деле значительно труднее, чем размышление на уже существующими задачами. Почему это так - трудно сказать. Но если вдуматься, то такой же паттерн наблюдается во многих других областях человеческой активности. В бизнесе например; создать новый бизнес с нуля куда труднее, чем купить франчайз и работать по уже отработанным лекалам, не особо грея голову о рекламе и маркетинге.

В разных делах нужны разные навыки, склонности характера и особенности мышления. Для простых смертных определенные успехи в решении математических задач (первого вида) обеспечиваются развитием двух незамысловатых качеств - наблюдательности и способности тратить многие часы на пристальное ментальное созерцание одного и того же объекта (или группы объектов). Для тех же кого принято считать гением такого рода успехи обеспечиваются непонятно чем; надо быть гением, чтобы это знать. Но возможно перечисленные выше качества для них тоже играют свою роль - в конце концов тот же Ньютон как-то раз со скромностью (ложной или нет) заметил, что ему удалось чуть больше лишь потому, что он стоял на плечах гигантов.

Кроме этого надо четко понимать разницу между математическим творчеством и каким-нибудь другим. Взять, скажем, графоманство, которым я в данный момент занимаюсь (если это, конечно же, можно считать творчеством). Любой проект, связанный с изложением на бумаге идей или фантазий, можно завершить в той или иной форме. А вот в решении задач по математике такой вольности нет. Тут ситуацию можно описать фразой, которую любят химики - пан или пропан. Другими словами, задача или решена или не решена и никаких тебе полутонов.

Один из наиболее загадочных объектов в математике это простые числа - числа делящиеся только на себя и единицу. Их свойства бросают вызов интуиции, а порой и здравому смыслу. Пауль Эрдош, один из наиболее эксцентричных математиков всех времен и народов, страстно изучал простые числа и был настолько озадачен некоторыми фактами, что в сердцах перефразировал Эйнштейна, сказав, что возможно Бог и не кидает кости во Вселенной, однако с простыми числами происходит что-то очень странное.

Самое пожалуй известное свойство простых чисел - их бесконечность. Доказательство этого факта - яркий пример логического подхода, именуемого Reductio ad Absurdum, или, как его чаще называют, доказательство от противного. Доказательство это сводится к тому, что мы предполагаем, что существует самое большое простое число и после этого, беря это число в качество базового, умозрительно конструируем еще б ольшее простое число, чем делаем допущенную предпосылку абсурдной. Интересен и такой факт: бывает, что два простых числа разделены всего лишь одним числом, как например 17 и 19 или 41 и 43. Одна из самых больших загадок в математике состоит в том конечно или бесконечно число таких пар.

Однако самая большая мистика связана с распределением простых чисел среди всех остальных. Размышления на эту тему в состоянии лишить душевного покоя любого, кто посвятит достаточное время этой теме. Можно например доказать, что существуют сколь угодно большие числовые интервалы вообще не содержащие простых чисел. Возьмем некое неизвестное (но существующее!) число N1 и в интервале между N1 и (N1 + 1000) простых чисел не будет. Или в другом интервале N2 и (N2 + 1000000). И так далее. И при этом, как мы уже знаем, число простых чисел бесконечно. Как примирить эти два факта и избавится от ментального дискомфорта?

Эта любопытная особенность порождает немного странную аналогию. Креативность как процесс (по крайней мере в том виде в котором с ним знаком я) - крайне нерегулярен, если не сказать хаотичен. Бывают очень долгие периоды без каких либо творческих вспышек, затяжные интервалы ментальной 'засухи'. И вдруг что-то приходит в голову и я оказываюсь в состоянии сделать что-нибудь интересное, хотя не обязательно серьезное или значимое. Но будет ли факт бесконечности простых чисел обнадеживающим фактором в этом отношении? Да и нет, как любят говорить администраторы баз данных. Да, потому что всегда есть шанс, что бесплодный период когда нибудь закончится. Нет, потому что человеческая жизнь ограничена по определению в то время как число простых чисел неограниченно: несмотря на существующие сколь угодно длинные отрезки без простых чисел, у них есть незаменимый союзник - бесконечность.

Задача о числах в треугольнике Паскаля для меня по прежнему успешно обороняющийся форт, взять который еще так и не получилось ни приступом, ни измором. Совет увиденного в лихорадочном полубреду Паскаля ненамного приблизил меня к цели, раскрыв неожиданный и элегантый частный случай, когда числа в треугольнике совпадали со степенями семерок. Известный американский бизнесмен Росс Перо заметил как-то раз, что в большинстве случаев новый бизнес терпит неудачу, потому что предприниматель бросает его на расстоянии вытянутой руки от успеха; вспоминая об этом, я с почти что патологической страстью продолжаю размышлять над этой задачей, надеясь, что решение рано или поздно будет мною найдено. И засыпая я, бывает, напряженно думаю об этом треугольнике, напоминая самому себя попугая Джона Сильвера, исступленно кричащего 'Пиастры, пиастры!..' по всякому поводу. Кто знает, возможно однажды Паскаль вновь посетит меня в моем сне и намекнет на скрытое от моего взора свойство в его треугольнике, прежде чем вновь удалится в бескрайнюю числовую даль.