# "Строгая, но справедливая" теорема Гёделя

Евгений Владимирович Попов

Теорема Геделя о неполноте доказательств, утверждает примерно следующее: при определенных условиях в любом языке существуют истинные, но недоказуемые утверждения. (см. http://www.scorcher.ru/subject_index/subject_show.php?id=4249)

В принципе, эта теорема, которая относится к компетенции науки - метаматематика, справедлива по отношению к любой природной системе...


Строго говоря, теорем Гёделя две, но суть не в этом, обе касаются схожих вещей. Обе имеют достаточно строгое доказательство. Но удивительно то, что доказать любую из них можно и просто рассудая на уровне "обыденной логики". Начнем рассуждать "от противного". Допустим, что существует хотя бы одна система, каждое утверждение которой может быть доказано средствами самой этой системы. Тогда получается, что система полностью самодостаточна, она не "нуждается" ни в "чьей внешней помощи", она полностью "закрыта" и никак себя не "обнаруживает". Она ничего "не выпускает" из себя, и ничего в себя "не допускает". А раз так, то "извне" этой системы невозможно найти никаких доказательств и "свидетельств" ее существования. Следовательно - формально такая система НЕ СУЩЕСТВУЕТ.

Однако, можно услышать возражения, что в этом случае есть субъект, который описывает эту систему как самодостаточную. Стало быть, он её объективизирует. Делает существующей, доказывая её самодостаточность. Между описателем и системой складываются субъектно-объектные отношения.

На это существует такой ответ - самодостаточная система не нуждается в ее описании и объективизации. Если она есть, то просто существует и все, и плевать ей на субъекта. В том-то и дело, что этот субъект никогда не сможет ее "объективизировать", т.к. даже не догадывается об этой "системе", она никак себя не проявляет, следовательно, для него не существует. "Объективизировать" нечего. Правда, это только, если субъект находится "вне этой системы". Если же он находится "внутри нее", то в этом случае он не подозревает, что существует что-то кроме этой системы. Этот случай, хоть и по-своему интересен, но пока не рассматривается. К тому же, использован стандартный математический подход доказательства от противного, то есть, речь идет о гипотетической системе, предположительное существование которой приводит к противоречию.

А вот теперь о субъекте "внутри системы". Вот он действительно ее объективизирует путем поиска доказательств ее "утверждений". Пусть в системе есть все для этого, есть утверждения, не вызывающие никаких сомнений (аксиомы), есть методы доказательств и т.п., ведь она - самодостаточна. Кстати, все утверждения системы делятся на три категории: аксиомы, доказанные утверждения и не доказанные, требующие доказательств. Общее число таких утверждений в системы может стремиться в бесконечность. Введем понятие "время доступа к утверждению" (буду рассуждать в терминах информатики), то есть, "время доказательства" одного утверждения. Очевидно, что для доказательства ВСЕХ утверждений системы "время доступа" будет так же стремиться в бесконечность. Мы пришли к парадоксу - для полной объективизации самодостаточной системы субъектом нужна вечность! Это во-первых. Во-вторых, для доказательства каждого утверждения необходимо условие чтобы большинство остальных уже были доказаны, поскольку ни одно доказательство не строится "на пустом месте", а это невозможно. Другими словами - в самодостаточной системе будут всегда существовать не только недоказанные утверждения, но и те, которые доказать невозможно, точно так же как и в "недостаточных", относительно которых верна теорема Гёделя!?