# Фрактальные заморочки

Евгений Владимирович Попов

Фракталов существует бесконечное множество. В теории фракталов, поэтому говорят о "фрактальном множестве"...

Строго говоря, фрактальное множество неоднородно, хотя и есть у всех фракталов общее - это рекурсивная процедура их генерации. Есть два типа фракталов, т.н. инвариантные, у которых геометрические свойства инвариантны относительно масштабных преобразований ("Кохо-подобные" фракталы, дерево Пифагора и т.п.), и ковариантные, с "нежестким" подобием (множество Мандельбродта, Жюлиа и т.д.), или, как о них сказал бы Тимофеев-Ресовский - ковариантно-редуплицированные. Второй тип наиболее интересен тем, что на разных уровнях масштабов фрагменты фрактала, строго говоря, не переводятся друг в друга. Эти фракталы наиболее близки к тому, что мы наблюдаем вокруг нас. Например: крона дерева, русло рек со всеми притоками, кровеносная система живых организмов и пр. Действительно, во всех трех случаях эти фрагменты друг в друга не "переводятся", но во всех случаях есть нечто фундаментально общее.

Интересно поведение соотношение, известного как "золотое сечение" (1+sqrt(5))/2 = 1.618... Это поведение проанализировано Л.Кауффманом. Если мы рассмотрим рекурсивное представление этого соотношения, как бесконечной дроби, то можно получить цепочку приближенных значений ЗС

1 = 1/1

1+1/1 = 2/1 = 2

1+1/(1+1/1) = 3/2

1+1/(1+1/(1+1/1)) = 5/3

1+1/(1+1/(1+1/(1+1/1))) = 8/5

1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/1)))) = 13/8

1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/1))))) = 21/13

...............................................................................

Эта последовательность сходится к точному значению при увеличении числа рекурсий. Нетрудно видеть, что каждое приближение является "фиксированной" точкой некоего фрактального представления, которое не является геометрическим. То есть, фрактал необязательно должен представлять собой геометрическую структуру. Кроме того, появляется осмысленность понятия ЗС, как выразителя гармонии. В мировом фрактале принципу ЗС подчиняется практически любая структура или система. А поскольку мировой фрактал обязан существовать стабильно, то принцип ЗС может является математическим представлением этой стабильности. Напрашивается интуитивный вывод, что стабильно - должно подчиняться гармонии.

С теорией фракталов тесным образом связано современное учение о Хаосе. Согласно последнему все системы мироздания делятся на динамически устойчивые и динамически неустойчивые. Первые обладают тем свойством, что на малые изменения входных параметров реагируют своим же малым изменением. Вторые ведут себя иначе, на малые изменения входных параметров следуют большие, иногда непредсказуемые изменения самой системы. Все понятие Хаос связывают с поведением именно систем второго типа. Любая система, являющаяся динамически устойчивой, при определенных условиях может перейти в неустойчивое состояние. Например, тонкая длинная металлическая линейка, сжимаемая вдоль своей оси, до определенного момента успешно сопротивляется этому сжатию благодаря силам упругости. То есть, ведет себя подобно шарику на дне глубокой чашки. Однако, в определенный момент наступает т.н. потеря устойчивости линейки при достижении силы сжатия критической величины. После этого линейка становится динамически неустойчивой системой, а ее форма может измениться непредсказуемо. Тот же самый шарик можно вывести из состояния устойчивого равновесия, толкнув его так, что он вылетит из чашки. Следовательно, состояние устойчивого равновесия систем мирового фрактала является необходимым условием его стабильности. Динамически же неустойчивые состояния возникают постоянно и везде, однако такие системы долго не живут и рано или поздно их динамически устойчивое состояние все равно будет достигнуто. При этом системы конечно же меняются, порой довольно сильно.

Какой отсюда вывод, золотое сечение безусловно описывает динамически устойчивое состояние систем. То, что ему не подчиняется - является динамически неустойчивым. Если у человека все его тело пропорционально, то здесь действует правило ЗС. Малые отклонения в генах какого-либо индивидуума могут привести к большим отклонениям в соотношениях частей его тела. Например, огромные уши на маленькой с кулачок голове, ну и т.д. Это мы называем отклонениями от нормы. Поэтому, "динамическая устойчивость" в данном случае напрямую связана с ЗС.

Противоположность фракталу давно известна - это строго "линейные" структуры с четкими границами, и с вполне определенной размерностью. Например, в геометрии это простые линии, плоские и объемные фигуры. Эти структуры, в противоположность фрактальным, вполне укладываются в эвклидианские понятия пространства и времени. В противоположность им с точки зрения фрактальных структур Эвклидовы взгляды на пространтсво бессмысленны. Говоря о фракталах, как не вспомнить Лейбница, который ввел понятие тел "складчатых". Как в воду смотрел.

Имеется еще одна интересная сторона рассматриваемого вопроса. Отождествляя фрактал с природными системами можно сформулировать принцип неопределенности, подобный квантово-механическому. Действительно, если мы будем измерять длину какого-либо побережья как линии, то как бы мы ее не измеряли, она останется неизменной. Если же мы ее будем измерять как длину фрактальной структуры, то результат будет кардинально зависеть от способа измерения. Это классический пример Мандельбродта относительно длины побережья Британии. То есть, если определена линейная структура, то фрактальная является неопределенной, и наоборот. Совсем как в квантовой механике координата элементарной частицы и ее импульс.

В принципе, любая социальная общность построена так же. На уровне семьи, на уровне племени, деревни, на уровне города и пр., на уровне государства, на уровне всего человечества. Вот она фрактальность. С биологической точки зрения человек мало отличается от животного. Более того, говорят, что организм, например, свиньи наиболее близок человеческому, вплоть до взаимозаменяемости органов. Обидно конечно, но похоже на правду. Продолжая цепочку рассуждений и аналогий, можно говорить об "организмах" с более высокой степенью организации. Например, об "организме" типа планеты Земля. Мне кажется так более правильно, с точки зрения "фрактальной логики". У фрактала нет ни начала, ни конца, вот в чем штука. Мандельбродт ввел понятие "затравки" фрактала, начиная с которой его можно рекурсивно раскручивать в любом направлении. Кауффман предложил на мой взгляд более точный термин - "фиксированная точка". Конечно можно говорить о более сложном или более простом в структуре любого фрактала, только вот границы этого во фрактале размыты и условны. Это не тело, или совокупность тел, заданных в пространстве. Описание фракталов не производится описанием и отождествлением границ тел. Поэтому и понятие "затравка" или "фиксированная точка", связанное с выделением некоего "элементарного", весьма условно. Хаос не противопоставляется фракталу, а является его неотъемлемым атрибутом. В динамическом фрактале присутствуют и динамически устойчивые структуры, и динамически неустойчивые (хаотические). Они друг в друга переходят таким образом, чтобы обеспечить стабильность (устойчивость) всей фрактальной структуры в целом (интегрально). Хаос понимается не в смысле "полный бардак" во всем, а как состояние и поведение динамически неустойчивых систем. естественно, тут целая область, использующая нелинейные системы дифференциальных уравнений разной конфигурации. Например в гидродинамике нелинейные уравнения турбулентных и срывных потоков. В подавляющем большинстве случаев такие уравнения не имеют точных аналитических решений.

Как принцип "неопределенности" можно отследить в примере числовых рекурсий золотого сечения, приведенном выше. Все фиксированные точки золотого сечения представляют собой соотношения равенства, где в левой части содержатся рекурсивные выражения, а в правой - приближенные значения ЗС. Если мы ограничиваемся конечным числом рекурсий, что соответствует "определенности", то правая часть является приближенной, то есть "неопределенной". Неопределенной в том смысле, что точное значений ЗС не достигнуто. Если же мы попытаемся внести "определенность" в правую часть выражения (вычислить точное значение ЗС), то в левой количество рекурсий устремится в бесконечность. То есть "неопределенность" при этом вылезает уже в левой части. И по-другому здесь никак не получается.

Измерять длину фрактальной структуры - неблагодарное занятие. Это можно пояснить на следующем примере. Представим, что пятерым разным людям поручили определить размеры одного и того же дерева. Если рассматривать дерево как "тело-передмет", то ни у кого из этих пятерых никаких вопросов возникнуть не должно. Все сразу измерят высоту дерева, диаметр кроны, ну для порядке снимут еще пару-тройку размеров, и все. Результаты возможно несколько разойдутся, но не принципиально, только в пределах погрешности измерений. Ситуация радикально изменится, если кому-то из них в голову придет задаться вопросом, а что значит - измерить дерево. Это, простите, как? Да и что мерить? Ведь дерево далеко не занимает весь тот объем, который охватывает его габариты, имея при этом сложнейшую форму. Если они еще начнут измерять суммарную длину ствола дерева со всеми его ветвями и сучками, то результат, получаемый всеми пятерыми будет различным настолько, что возникнет вопрос, а один и тот же объект они измеряли, или разные. Или может нужно измерять площадь поверхности, занимаемой корой? Но эта задача еще сложнее и неопределенней, так как опять же все зависит от эталона измерения, ведь кора большинства деревьев сильно неровная и "складчатая". То же самое относится и к измеряемому объему. Да и габаритные размеры дерева далеко неоднозначны, так как неоднозначна и зыбка сама форма этого объекта. Вот что подразумевается под измерением фрактальных структур. Ясно одно, что наш обыденный опыт, касающийся измерения "тел-предметов", заданных в евклидовом пространстве, в этом занятии помощник очень плохой. Что значит - измерить дерево? Здесь речь идет о том, какой набор геометрических параметров данного конкретного дерева нужно определить, чтобы это дерево, как объект, можно было однозначно отличить от любого другого, подобного ему объекта. Ведь именно так ставится задача измерений объектов в классической геометрии. Очевидно, что с этим в данном случае огромные проблемы. А ведь все мы с раннего детства любое дерево легко можем отличить от другого.