# Как рождается, живет и умирает хаос

Эл П Яровер

Для любознательных молодых людей любого возраста, которые не прочь при случае задуматься об устройстве Вселенной

Как рождается, живет и умирает хаос


Для любознательных молодых людей любого возраста, которые не прочь при случае задуматься об устройстве Вселенной


Хаос и порядок - словосочетание которое на слуху во многих отраслях науки, от физики, химии и биологии до экономики и социологии. Одна из самых интригующих особенностей хаоса - его способность к самоорганизации. Она позволяет объяснить множество природных явлений. Теория хаоса связана с довольно сложной математикой. А формулы, как известно, хороши для понимания деталей, но зачастую мешают разглядеть целое. Можно ли тем не менее как-то просто и наглядно объяснить эту способность? Можно попробовать


ЧТО ТАКОЕ ХАОС И КАК ПОЛУЧАЕТСЯ ХАОС?


Вначале был лишь только Хаос.


Легенды и мифы древней Греции

В природе нет случайности. Вещь может казаться случайной только из-за неполноты нашего знания

Барух Спиноза

Для начала, такое хаос? Есть много определений понятия "хаос". В него вкладывают разное содержание, в зависимости от того, кто этим занимается. Математики определяют его в терминах нелинейных дифференциальных уравнений, физики в терминах фазовых переходов и диаграмм состояний, биологи говорят о биологических ритмах и самосинхронизации, для химиков это циклические и ациклические химические реакции. Но и без научных, квази-научных и псевдонаучных определений для каждого здравомыслящего человека хаос - это неразбериха, то есть отсутствие или недостаток порядка. Если ему показать вот эти картинки (Рис. 1), он сразу скажет, где хаоса больше, а порядка меньше.


Рис. 1. Примеры хаотических и более или менее упорядоченных картинок


Простейшей и в то же время фундаментальной математической моделью хаоса являются так называемые генераторы "случайных чисел". "Случайные" числа нужны для нахождения решений разных задач методом "тыка", то есть методом проб и ошибок, или, по-научному, методом Монте-Карло.

Первая существенная и фундаментальная особенность генераторов "случайных" чисел та, что они генерируют "случайные" числа одно за другим, и каждое следующее число получается из одного или нескольких предыдущих путем некоторых арифметических операций. Это значит, что механизм их генерирования является эволюционным, в нем заложено понятие прошлого, настоящего и будущего.

Вторая их существенная и фундаментальная особенность та, что их вычисления производятся используя, кроме таких арифметических операций, как сложение-вычитание и умножение-деление чисел, которые являются обратимыми, ещё и необратимые операции, например операции нахождения остатка от деления одного числа на другое. Именно наличие необратимых операций, "рандомизирует" (от английского слова random, то есть случайный) последовательность генерируемых "случайных" чисел.

Генерирование случайных чисел является в наши дни стандартной операцией программного обеспечения компьютеров наряду с такими операциями как, например, вычисление логарифмов чисел или тригонометрических функций (синусов/косинусов) и т.п. Построить "хороший" датчик "случайных" чисел - большое искусство. В 1960-1970-х годах, когда появились первые компьютеры для вычислений и моделирования и методы Монте-Карло, математики потратили много усилий по подбору алгоритмов и проверке качества порождаемых ими "случайных" последовательностей. Где-то в 1980-х эти поиски завершились, и был создан стандартный датчик, то есть программа, которая вошла в стандартную библиотеку языка программирования "Си", используемую повсеместно практически во всем мире.

Я стал заниматься тематикой случайных чисел еще тогда, когда стандартных датчиков случайных чисел еще не было. Мне нужны были хаотические картинки, и для себя я придумал свой датчик случайных картинок. В этом датчике генерировались не случайные числа одно за другим, а случайные картинки одна за другой. Делалось это следующим образом. Берем любую картинку, и для любой ее точки найдем среднее между ее светлотой и светлотой восьми ее ближайших соседних точек (по три сверху и снизу и по одной слева и справа). Затем это среднее поделим на выбранное заранее число, и остаток от деления на это число присвоим светлоте этой точки, и так для всех точек картинки. В результате получается следующая картинка в последовательности. На практике оказалось, что после четырех-пяти шагов в этой последовательности от первоначальной картинки ничего не угадывалось на глаз, и картинки полностью разупорядочились, хаотизировались. Это хорошо видно на Рис. 2.

Рис. 2. Как портрет Моны Лизы можно превратить в полный хаос. Слева направо: исходная первичная картинка и четыре последовательных результатов ее хаотизации.

МОЖНО ЛИ ПОЛУЧИТЬ ЧТО-НИБУДЬ ПОЛЕЗНОЕ ИЗ ХАОСА?


Случайные числа находят много разных применений. Здесь я расскажу об одном применении, о котором не так широко известно: о создании искусственных картинок, которые художники называют текстурами.

Когда художник пишет, например, портрет, он никогда не выписывает каждый отдельный волосок шевелюры или бороды модели или каждую нитку ткани ее одежды или драпировки, а когда он пишет пейзаж, никогда не выписывает каждую отдельную травинку травы или каждый отдельный листик листвы деревьев и кустарников.

Таким образом текстуры - это картинки или фрагменты картинок, которые воспринимаются целиком. Они характеризуются параметрами или свойствами, общими для всех конкретных картинок определенного класса текстур. Такие параметры называются статистическими. Это может быть частота встречаемости отдельных значений светлоты точек изображения, параметры, описывающие взаимные связи, или, как говорят, корреляции, между светлотой и цветом соседних точек изображения, и тому подобные численные характеристики.

"Случайные" числа - идеальный инструмент для имитации текстур. Для этого реализациям "случайных" картинок нужно придать статистические характеристики, характерные для класса тектур, который нужно имитировать. В технике цифровой обработки изображений существуют для этого множество методов. На рисунке Рис. 3 показаны несколько примеров синтезированных таким образом текстур, полученных преобразованиями реализаций "случайных" картинок, таких, как последняя справа картинка на Рис. 2.


Рис. 3. Имитация природных текстур

Эти текстуры - отдельные реализации картинок каждого данного класса. Другие реализации исходных "случайных" картинок, преобразованные по тем же правилам, дадут другие реализации текстур. Например, получатся картинки, на которых будут облака немного другой формы и в других местах, но это все равно будет восприниматься как картина кучевых облаков, или кирпичи с немного другими пятнами, но это будет все равно восприниматься как кирпичная кладка и т.д.

ИГРА "ЖИЗНЬ" ДЖОНА КОНВЭЯ И ЧТО Я С НЕЙ СДЕЛАЛ


Летом или осенью 1972 г., я сейчас уже точно не припомню, мне попался октябрьский номер американского научно-популярного журнала "Scientific American" за 1970 г. со статьей известного популяризатора математики Мартина Гарднера, в которой он описал математическую игру, придуманную британским математиком Джоном Конвэйем (John Conway).


Рис. 4. "Жизненное пространство" игры "Жизнь": клетки и их 8 ближайших соседей


Игра называлась "Жизнь". Она состояла вот в чем. Представьте себе лист бумаги в клеточку (Рис. 4). Изначально все клеточки черные. Будем считать эти клетки "мертвыми". Закрасим белым произвольно какое-то количество клеток и будем считать эти белые клетки "живыми". Теперь начнем игру. Эта игра эволюционная и происходит тактами. На каждом такте определенные "живые" (белые) клетки умирают, то есть превращаются в черные, а в некоторых "мертвых" (черных) клетках рождаются живые клетки (белые), то есть некоторые черные клетки становятся белыми. "Умирание" и "рождение" клеток происходит по следующим чрезвычайно простым правилам: на каждом такте эволюции

- каждая "живая" (белая) клетка, у которой из восьми соседей (три сверху от нее, три снизу от нее и по одной слева и справа) меньше двух или больше трех "живых" (белых) клеток, умирает от "одиночества" или, соответственно, от "скученности", т.е. клетка становится черной;

- в каждой мертвой (черной) клетке, у которой из ее восьми соседей есть ровно три живых (белых) клеток, проиходит рождение: клетка становится белой.

- во всех других случаях с клеткой ничего не происходит.

После того, как все имеющиеся клетки модифицированы в соответствии с этими правилами, данный этап эволюции завершается, и наступает следующий этап.

Гарднер описал в этой статье, что эта игра демонстрирует удивительные картины эволюции первоначальных узоров. Некоторые из них пропадают, вымирают через какое-то количество шагов. Другие преобразуются в формы, которые, единожды возникнув, больше не изменяются никогда. В процессе эволюции появляются также образования, принимающие периодически, от такта к такту, одну из двух форм или нескольких форм. Но самыми удивительными являются возникающие в процессе эволюции формы, которые от такта к такту движутся по полю. Они получили название "глайдеры" от английского glide (планер).

После публикации Гарднера игра "Жизнь" приобрела огромную популярность. Сотни энтузиастов по всему миру стали открывать все новые виды стабильных и периодических форм, были открыты новые виды больших глайдеров, "космические корабли". Некоторые из них совершенно фантастические, и можно только позавидовать изощренным умам их открывателей.

Поначалу я тоже начал экпериментировать с различными исходными картинками, пытаясь получить новые стабильные и периодические формы и глайдеры. Но довольно скоро я понял, что мои мозги недостаточно изощрены, чтобы найти что-нибудь нетривиальное так, вручную. Поскольку я в то время интересовался датчиками случайных чисел, я подумал, что поиски можно автоматизировать, задавая в качестве исходных узоров картинки из случайных чисел, и затем смотреть с помощью компьютера, что из них получается и не получится ли что-нибудь интересное и новое.

Но теперь уже я решил начать поиски в другом направлении, посмотреть, что будет, если

- правила Конвэя сделать стохастическими, а именно, если из всех событий "смертей", которые по правилам должны были происходить на каждом этапе эволюции, осуществлялась только часть случайно выбранных клетках модели, иными словами, если бы смерть клеток "от одиночества" или от "скученности" наступала с некоторой частотой меньше единицы.

- изменить взаимное влияние соседей клеток, а именно, сделать его не равным для всех восьми соседей, как в правилах Конвэя, а разным.

Оказалось, что на этом пути меня ждали интересные, неожиданные, а местами и удивительные находки.


УДИВИТЕЛЬНЫЕ ПРИМЕРЫ САМООРГАНИЗАЦИИ ХАОСА.


Как рождаются природные узоры, как ткани залечивают раны и приживаются при трансплантации


Итак, что будет, если те клетки, которым предназначено умереть на данном такте эволюции, умрут не все, а только какая-то случайно выбранная часть из них? Оказалось прежде всего, что идеальные правила игры "Жизнь" неустойчивы: даже если доля умирающих клеток очень близка к единице, но не равна ей, например, равна 0.999, стабилизация картины с рождением стабильных форм, циклически осциллирующих форм и глайдеров не наступает никогда! Первичный хаос не упорядочивается: все имеющиеся клетки постоянно от такта к такту попеременно рождаются или умирают, и так поле клеток роится без конца.

Но это происходит только если доля умирающих клеток больше примерно одной трети. Если эта доля становится меньше, через некоторое, впрочем, достаточно большое, около нескольких десятков тысяч, числа тактов все клетки постепенно выстраиваются в картину, напоминающую лабиринт и состоящую из отрезков перемежающихся горизонтальных и вертикальных прямых линий, меняющих направление в хаотически расположенных точках. Первичный хаос упорядочивается в некий гибрид порядка и хаоса. То что описано здесь словесно, иллюстрирует Рис. 5.


Рис. 5 . Слева: Пример одного из этапов эволюции стандартной модели игры "Жизнь". Все образования на этой картинке, за исключением горизонтальных и вертикальных чёрточек - стабильны, и, возникнув, не меняются в процессе дальнейшей эволюции. А вертикальные и горизонтальные черточки попеременно превращаются друг в друга, то есть мигают от этапа к этапу как светофоры. В центре: один из типичных кадров непрекращающейся эволюции стохастической модели игры "Жизнь" при доле умирания клеток в пределах 0.3-1. Зелеными показаны клетки, не изменяющиеся на данном этапе, синим - клетки, в которых происходят рождения, красным - клетки, которые должны умереть. Справа: Стабильный узор "лабиринт", к которому стохастическая модель Конвэя пришла через несколько тысяч тактов эволюции.


Узоры типа "лабиринт" замечательны тем, что они часто встречаются в природе. Такова, например, окраска некоторых видов животных и рыб, структура магнитных доменов (изолированных однородно намагниченных областей в магнитной плёнке), картина отпечатков пальцев, и. т.д. Несколько примеров показано на Рис. 5.


Рис. 6. Примеры узоров типа "лабиринт" в живой и неживой природе: зебра, уссурийские тигры, рыба-сержант, магнитные домены, отпечаток пальца

Узор "лабиринт", повидимому, является фундаментальным для нелинейных динамических систем. Иначе с чего бы это он воплощен в скульптуре перед одним из входов в главный торговый центр Grand Arcade знаменитого британского университетского города Кэмбридж (Рис. 6)?


Рис. 7. Скульптура "лабиринт" у одного из входов в торговый центр Grand Arcade в Кэмбридже, Англия

Я открыл явление образования узоров "лабиринт" в стохастичекой версии игры "жизнь" довольно давно, еще в 1980-х. Но я вряд ли являюсь первооткрывателем этого явления. Потом я нашел в литературе несколько других работ, где оно также отмечалось (в них рассматривалась так называемая "асинхронная" версия игры "Жизнь", которая по существу эквивалентна моей "стохастической" версии).

Но недавно я сообразил проверить способность этих устойчивых узоров, которыми заканчивается эволюция модели, к дальнейшему росту, и открыл их удивительную способность к "самозалечиванию ран", как иллюстрирует Рис. 7, и "трансплантации", как иллюстрирует Рис. 8.


Рис. 8. Постепенное восстановление узора "лабиринт" после изъятия фрагмента. На цветной картинке зелеными показаны клетки, не изменяющиеся на данном этапе, синими - кдетки, в которых происходят рождения, красными - клетки, которые должны умереть.


Рис. 9. "Трансплантация" фрагмента одной реализации узоров "лабиринт" в другую. Для приживления фрагмента требуется от нескольких десятков до нескольких сотен тактов эволюции


Как рождается и проявляется коллективизм в популяциях организмов

А сейчас я хочу рассказать о, на мой взгляд, самых интересных находках в экспериментах с моделями, инспирированных игрой "Жизнь". Цель этих экспериментов - проверить, как изменится эволюционное поведение модели, если в ней изменить связи клеток со своими соседями.

В стандартной модели вклад всех восьми ближайших соседей каждой клетки в ее состояние на следующем такте эволюции одинаков. Для определения этого состояния нужно узнать, сколько живых клеток есть в окружении каждой клетки. Для этого нужно просто просуммировать состояния этих соседних клеток, считая, что живой клетке соответствует состояние 1, а мертвой - состояние 0. А что, если попробовать изменить вклад соседних клеток, суммируя их состояния с весовыми коэффициентами принимающими разные значения от 0 до 1. Главный побудительный коэффициентами принимающими значения от 0 до 1. Главным побудительным мотивом этого было желание посмотреть, а что будет, если число влияющих соседей будет не 8, а, скажем, 6 или 4, и если влияние соседей будет иметь какую-нибудь преимущественную пространственную ориентацию.

Я испытал больше десятка разных вариантов весовых коэффициентов и мне открылись три новых и удивительных типа эволюционного поведения моделей:

- "Самоуправляемый рост" до стабилизации

- "Жизненный цикл": "рождение" - "самоуправляемый рост" - "зрелость" - "коллективное увядание" -"умирание"

- "Вечная жизнь" в самоограниченном пространстве

"Самоуправляемый рост"

Итак, по порядку. Первое, что я попробовал проверить, это, способны ли модели с неравным вкладом соседей создавать в процессе эволюции устойчивые лабиринтообразные структуры, которые я наблюдал в стандартной модели с равным вкладом соседей. Оказалось, что да, некоторые способны, но

- устойчивые лабиринтообразные структуры вырастают в них в виде образований, имеющих определенную геометрическую форму, специфическую для каждой модели, и возникающих уже на первых этапах эволюции;

- эти устойчивые лабиринтообразные структуры сохраняют ограниченную, но зато очень своеобразную, способность восстанавливаться из "лоскутов. Они растут, но не хаотически, а упорядоченно, так, как если бы клетки в процессе эволюции образовывали как бы "сообщества", имеющие форму, которая специфична для каждой модели. Эти "сообшества" клеток растут только до тех пор, пока не обретут определенные внешние формы, которые описаны вокруг внешних контуров этих "лоскутов" - зародышей.

Этот тип эволюционного поведения можно, наверное, назвать "самоуправля-емым ростом". Рис. 9 - Рис. 11 иллюстрируют этот тип поведения для трех моделей, определяемых весовыми коэффициентами соседей, показанными в таблицах в верхнем левом углу каждого рисунка.


Рис. 10. "Самоуправляемый рост" до стабилизации в виде лабиринтообразного узора: примеры этапов эволюции модели "Isotrope"


Рис. 11. "Самоуправляемый рост" до стабилизации в виде лабиринтообразного узора: примеры этапов эволюции модели "Hex SE-NW".

Рис. 12. "Самоуправляемый рост" до стабилизации в виде лабиринтообразного узора: примеры этапов эволюции модели "HexSW-NE"

Верхний ряд на этих рисунках, слева направо: этапы роста из хаотического зародыша с долей "живых" клеток 0.5. Средний ряд, слева направо: этапы роста из хаотического узора с начальной долей "живых" клеток 0.12. Видно образование, рост и стабилизацию клеточных "сообществ" определенной формы, характерной для каждой модели. Нижний ряд, слева направо: этапы роста из фрагмента устойчивого "лабиринта" (крайний справа в верхнем ряду) в образование в форме квадрата (модель "Isotrope"), и шестиугольников, ориентированных с юго-востока на северо запад (модель "Hex SE-NW") и с юго-запада на северо-восток (модель "HexSW-NE), описывающих исходный зародыш и совпадающих с ним в его пределах. Последняя картинка в этом ряду показывает окончательный стабильный узор (показан зеленым) на фоне зародыша, показанного красным, но ввиду того, что в пределах зародыша стабильный узор совпадает с зародышем, они оба видны как желтые: смесь красного зародыша и зеленого стабильного узора. Это говорит о том, что рост происходит только по углам образовавшегося квадрата, а внутренние части зародыша остаются неизменными. На остальных цветных картинках, демонстрирующих этапы эволюции, стабильные клетки показаны зелеными, клетки, которые должны умереть, показаны красными, клетки, в которых произойдет рождения - синими.

В отличие от Рис. 9 - Рис. 11, на Рис. 12 даны примеры этапов "самоуправляемого роста" из зародыша "угловатой" формы, а не хаотического (вторые слева в каждом ряду) для четырех моделей. Они показывают, что рост происходит до образования фигур, ограниченных вертикальными, горизонтальными и диагональными отрезками прямых линий (в зависимости от модели), но всегда описывающими внешние контуры зародышевой фигуры.

Рис. 13. Примеры этапов "самоуправляемого роста" до стабилизации из "угловатого" зародыша (вторые слева в каждом ряду) для четырех моделей.

Жизненный цикл: "рождение" - "самоуправляемый рост" - "зрелость" - "коллективное увядание" -умирание"


Описанная выше эволюция типа "самоуправляемый рост" наблюдалась при сравнительно низкой, порядка 0.1 - 0.3, частоте "умирания" клеток. При бОльших частотах "умирания" модели с неравномерными весами взаимовлияний демонстрировали новый, еще более поражающий своей организованностью и самосогласованностью тип эволюции, который можно назвать "жизненным циклом" "сообществ" клеток.

Процесс эволюции начинался с зарождения из зародыша "сообществ" клеток, или "популяций", которые начинали расти, как это наблюдалось в процессе "самоуправляемого" роста. Потом, когда популяции достигали определенного "критического" размера и формы, охватывавшей внешние контуры "зародыша", рост прекращался, и в течение некоторое количества циклов размеры популяций оставались практически неизменными. После этого периода относительной стабильности начиналось постепенное сокращение размеров популяции (коллективное "увядание"), причем форма внешнего контура популяций, достигнутая ими в конце роста, сохранялась в процессе их сокращения практически неизменной до самого конца, когда "популяции" либо вымирали полностью, либо процесс заканчивался одним из устойчивых фрагментов лабиринтообразных узоров. Как и в эволюции типа "самоуправляемого роста", форма, которую выбирают растущие популяции, определяется весовыми коэффициентами связей клеток и хорошо коррелирует с формой их неоднородности. Посмотрите на иллюстрирующие это словесное описание рисунки Рис. 13 - Рис. 17 и скажите, разве не напоминает ли такой цикл жизненные циклы в природе: рождение, взросление, зрелость, увядание, смерть, разве не поразительно такое "дружное" согласованное поведение больших "сообществ" клеток, каждая из которых "чувствует" только своих ближайших соседей?


Рис. 14. Этапы эволюции типа "жизненный цикл" для модели "Isotrope"


Рис. 15. Этапы эволюции типа "жизненный цикл" для модели "Diagonal"

Рис. 16. Этапы эволюции типа "жизненный цикл" для модели "HexW-E"

Рис. 17. Этапы эволюции типа "жизненный цикл" для модели "HexSE-NW"


Рис. 18. Этапы эволюции типа "жизненный цикл" для модели "Cross".

"Вечная жизнь" в самоограниченном пространстве

Наконец, последнее наблюдение. Оказалось, что для некоторых моделей самоуправляемый рост и созревание "сообществ" клеток может не завершаться их увяданием и умиранием, а переходить в стабильное "вечное" существование их в образовавшихся на момент созревания границах при условии, что они достигли определенных критических размеров. То есть хаос как бы самоупорядочивается, приобретая другую форму, в которой порядок и хаос сосуществуют вместе. Примеры такого удивительного коллективного поведения показаны на Рис. 19 - Рис. 21.

Рис. 20. Этапы эволюции типа "вечная жизнь в самоограниченном пространстве" для пяти моделей.


Рис. 21. Этапы эволюции типа "вечная жизнь в самоограниченном пространстве" для модели "Hex0".

Рис. 22. Этапы эволюции типа "вечная жизнь в самоограниченном пространстве" для модели "Gauss5x5".


Заметим, что в модели Gauss5x5 (Рис. 21), как это видно из ее таблицы весов, связь каждой клетки простирается примерно равномерно во все стороны и не только на 8 ближайших к ней сверху, снизу, справа слева соседей, как в остальных моделях, а дальше на один ряд со всех сторон. Это и соответствующие весовые коэффициенты выбраны намеренно с целью сделать форму организации клеточных "сообществ" более округлой, изотропной во всех направлениях, чем "угловатые" геометрические формы, характерные для других моделей.

В этих экспериментах клеточные "макросообществ" выглядели как бы "бессмертными" в течение от миллиона до десяти миллионов тактов. Возможно, если бы мы продолжали наблюдения намного дольше, эти собщества в конце концов тоже бы "умерли", так как их "бессмертие", строго говоря, не доказано. Но что можно утверждать наверняка, - это то, что с ростом размера "сообществ" скорость их возможного "увядания" падает очень быстро. В этом смысле можно говорить о существовании "критического" размера ("критической" массы), выше которой скорость их увядания спадает до "практического" нуля.

Картина того, как тысячи клеток образуют компактные стабильные замкнутые сообщества и держатся вместе, чувствуя только "локоть" друг друга, завораживает, когда на нее смотришь. Не может быть, чтобы это не нашло где-то применение. ибо, как писал Гегель: "Все действительное разумно, все разумное действительно".

Впрочем, в природе это явление встречается. Образование из хаотического множества клеток их компактных долго живущих "сообществ", наблюдаемое в примерах на Рис. 19 -Рис. 21, очень напоминает часто встречающееся в животном мире явление образования стай и стад животных, таких как стада овец, косяки рыб, стаи птиц, рои пчел (Рис. 22)


Рис. 23. Примеры образования компактных долго живущих групп животных в природе


ХАОС, ПОРЯДОК И ЗАКОНЫ ПРИРОДЫ


Пожалуй я верю в Бога, если под Богом вы подразумеваете воплощение тех сил, которые управляют Вселенной

Стивен Хокинг


Множество наборов (мировых) констант могли бы привести к возникновению Вселенных, которые, как бы прекрасны они ни были, не содержали бы никого, кто бы был способен удивляться их красоте

Стивен Хокинг


Показанные примеры хорошо иллюстрируют процессы самоорганизации, коллективного поведения и упорядочивания хаоса. Главные выводы, которые можно сделать из этих опытов, такие:

- Только локальных связей достаточно для формирования коллективного поведения больших "сообществ" клеток.

- Форма внешних контуров образующихся "сообществ" клеток напрямую определяется формой и симметрией таблиц весов для соседствующих клеток.

- Существует гибридная форма упорядочивания хаоса: хаос в пределах самосозданных границ.

Эти примеры поучительны еще в одном отношении. Из чего состоит мир наших стохастических моделей? Он состоит из

- Пространства (поле в котором происходит эволюция) и его метрики (клеток и определения их близости).

- Времени: это генератор тактов эволюции, который определяет, когда каждый такт начинается и когда наступает переход к следующему такту.

- Состояния клеток ("живая" - "мертвая").

- Законов "природы": трех простых правил, определяющих рождения, смерти и сохранения клеток, и нескольких числовых параметров, определяющих вклад соседей клеток в определение их состояния.

- Генератора "случайных" событий, определяющих, "умрет" ли данная клетка, которая по правилам Конвэя должна "умереть" на данном такте. Этот генератор, так же, как генератор тактов, является внешним по отношению к собственно моделям и определяется несколькими своими численными параметрами.

И это все. Три простых правила и пара десятков численных параметров достаточны для появления достаточно сложных видов коллективного поведения в этом мире с его пространством, временем и правилам.

Не так ли и в нашей Вселенной? Пространство, время, несколько десятков фундаментальных констант (скорость света, гравитационная постоянная, постоянная Планка, отношение заряда электрона к его массе и т.п.) и законы природы. И voila! Вот вам Вселенная во всей красе от большого взрыва и до наших дней!

У наших моделей есть "Создатели": это Джон Конвэй и автор этих строк. Параметры моделей подбирались так, чтобы получилось что-нибудь интересное. Заметим, что не все в этих моделях принадлежит их создателям. Топология пространства (клеточное поле и правила соседства в нем) и правила сложения и сравнения чисел с очевидностью принадлежат к общим законам природы.

Известно, что если бы фундаментальные константы природы были чуть другими, существование Вселенной и жизни на Земле было бы невозможно. Многие люди верят в Бога, "Создателя" всего сущего. Некоторые из них, называющие себя креацинистами, считают, что Бог-Создатель специально подобрал значения фундаментальных констант так, чтобы стало возможным существование Вселенной и жизни и появление человека, познающего Вселенную. Они только не замечают, что их вера в это означает, что существует нечто, чему должен подчиняться и сам Создатель, потому что это нечто не позволит осуществиться планам этого Создателя, если он ошибется в значениях мировых констант.


1