Я учился в школе во время, когда геометрию изучали по "Киселеву", то есть по учебнику А. П. Киселева, выверенному и отшлифованному несколькими десятками переизданий еще со времен гимназий царской России (первое издание вышло в 1892 г.). Я помню до сих пор, какое впечатление на меня произвело приложение, помещенное мелким шрифтом в конце учебника. Оно, насколько я помню, называлось "Об основаниях геометрии", и в нем говорилось о том, что всю геометрию можно логически вывести из всего лишь пяти постулатов (исходных утверждений, принимаемых как непреложные законы без доказательств) Эвклида.
Эта заметка - досужие размышления (размышления дилетанта на досуге) о фундаментальных постулатах физики.
Прежде всего о том, в чем смысл слов "почему существуют". Речь о том, есть ли какое-то фундаментальное свойство природы, из которого следует существование того, что мы называем "целые числа".
Например, фундаментальным атрибутом природы является "пространство", которое вмещает все то, что существует. Фундаментальными свойствами пространства являются понятие точки в пространстве (это, в частности, основное понятие геометрии), которую можно определить заданием ее положения в системе координат (то есть постулируется возможности определения взаимного расположения точек относительно любой из них выбранной в качестве начала координат) и изотропность пространства, то есть равноправность всех направлений в пространстве. Из изотропности пространства сразу следует, что пространство трехмерно, то есть что для определения положения любой точки пространства достаточно указать только три ее координаты, и что силы взаимодействия между телами зависят от расстояния между ними по "закону обратных квадратов" (как в законе всемирного тяготения и законе Кулона). Так это излагается в курсе теоретической физики Ландау и Лифшица. На самом деле лошадь запрягается с другой стороны. Закон обратных квадратов - экспериментальный факт. Это из него следует, что пространство изотропно и трехмерно, так как только в трехмерном пространстве площадь поверхности сферы (изотропность) пропорциональна квадрату ее радиуса. А из изотропности и трехмерности пространства следуют, в частности, многие другие замечательные факты, излагаемые в курсе Ландау и Лифшица. В этом фундаментальность изотропности и трехмерности пространства.
Такими же фундаментальными являются, например, и законы сохранения (в частности, энергии, количества движения, заряда).
Итак, из чего следует существование целых чисел? Очевидно из того, что вся природа состоит из отдельных тел, начиная от звезд и планет и продолжая до клеток в живой природе, молекул, атомов и субатомных частиц, фотонов и квантов излучения, а не представляет собой какой-нибудь гомогенный кисель. Целые числа - математическая модель существования отдельных друг от друга тел. Поэтому правильнее спрашивать не почему существуют целые числа, а почему природа состоит из отдельных друг от друга тел, то есть почему все сущее не гомогенный кисель, почему физика является квантовой?
Рискую высказать предположение: возможно, причина этого в том, что ничто не может двигаться со скоростью, большей скорости света. Это еще один фундаментальный постулат физики.
Поясню эту идею на таком иллюстративном примере, показывающем, как ограничение скоростей движения может привести к квантованию величин, с ними связанных. Мы постулируем, что все в этом мире движется, и скорости движения не превышают скорость света. Рассмотрим функцию, показывающую, какая доля этого "всего" движется с данной определенной скоростью, то есть какую веростность имеет данная скорость движение во вселенной. Это распределение - плотность распределения вероятностей скоростей движения - отлична от нуля только для скоростей от нуля до скорости света С. Такую функцию, существующую на таком ограниченном интервале 0-С, можно разложить в ряд Фурье (см. http://world.lib.ru/j/jarower_e_p/whatarefourierseries.shtml) на синусоидальные компоненты с частотами (по координате v), кратными 1/С, то есть квантованными с квантом 1/С. То есть плотность распределения скоростей движения всего сущего состоит из отдельных синусоидальных компонент с частотами, кратными 1/С. Так ограниченность скоростей движения скоростью света порождает квантование синусоидальных компонент плотности распределения скоростей с квантом 1/С.
Ну хорошо. Целые числа - математичесая модель существования отдельных друг от друга тел. Эти тела можно делить на части. Математической моделью этого являются дробные и рациональные числа (отношения целых чисел, например, 7 поделить на 5). Среди целых чисел есть особое число, Ноль. Для чего его придумали? Похоже для того, чтобы передать тот факт, что в природе существуют противоположные направления: вперед-назад, вверх-вниз, вправо-влево и т.п. Но в математике существуют также и иррациональные числа, например, корень квадратный из двух, - отношение диагонали квадрата к его стороне, - или число "Пи", - отношение длины окружности к ее диаметру. Эти числа нельзя, в отличие от рациональных чисел, выразить через отношение каких-либо целых чисел. Иррациональность корня квадратного из двух и числа Пи была известна еще древним геометрам, которые обнаружли, что линейкой, измеряющей сторону квадрата или диаметр круга нельзя точно измерить диагональ квадрата или длину окружности круга. Таким образом иррациональность квадратного корня из двух и числа "Пи" описывает несоизмеримость сторон квадрата и его диагоналей и несоизмеримость диаметра круга и длины ее окружности.
Иррациональные числа в принципе такие же числа, как и целые и рациональные. Их можно складывать между собой или с целыми и рациональными числами, перемножать, вычитать и делить. Более того, сумма иррациональных чисел может быть целым или рациональным числом. Например, сумма иррациональных чисел "пять плюс Пи" и "пять минус Пи" равна десяти.
Но замечательно то, что иррациональные числа заполняют числовую ось плотно, закрывая промежутки, оставляемые рациональными числами. Числовая ось с иррациональными числами непрерывна, то есть любой ее точке соответствует некоторое число, целое, рациональное или иррациональное. Числовая ось - это пример непрерывного пространства - пространства-киселя. Согласно принципу Гегеля "все разумное действительно", этой умозрительной модели должно что-то соответствовать в реальности. Согласно представлений квантовой физики, все в этом мире квантовано. Чему же тогда соответствуют иррациональные числа? Можно думать, что иррациональность всех чисел можно по аналогии с квадратным корнем из двух и числом "Пи" трактовать как свидетельство геометрической несоизмеримости чего-то с чем-то. Так ли это? Что, например, означает иррациональность так называемого числа "е", основания натуральных логарифмов (да простят меня читатели, которые забыли, что такое натуральные логарифмы).
Числа "Пи" и "е", входят в множество физических законов. Поэтому их значения необходимо знать с максимально возможной точностью. Почему именно эти специфические два числа так важны? Кто-нибудь знает?