* Жигагай (ранее Жигай) - деревня в Свечинском муниципальном округе Кировской обл. в речной долине речки Юма, в лесном массиве. Показана на Карте РККА O-38 окрестностей городов Ветлуга, Шарья, Шахунья, Тоншаево 1932-41 гг. - Жигай. На O-38 карты СССР. Нижний Новгород (Горький), Йошкар-Ола, Чебоксары 1970 г. - Жигагай. Краеведение: "упоминается в 1859-73 гг.", на старых картах найти не удалось.
* Жигайловка - село в Корочанском районе Белгородской обл. в балке (долина с водным потоком) Веселый Яр, 4 родника образуют водный поток, теряется в луге. Показано на Карте Европейской России и Кавказского края 1862 г. - Жигаловская. На Трехверстовке Белгородской обл. Военно-топограф. карте 1869 г. На карте Стрельбицкого 1871 г. - Жигаловка, 12 дворов. На Карте РККА M-37 (А). Курская, Белгородская, Воронежская и Харьковская обл. 1932-41 гг. - Жигайловка, в балке с водным источником. На M-37 карты СССР. Воронеж, Курск, Белгород, Харьков, Луганск 1970 г.
Краеведение: "В пору крепостного права хутор Жигайлов был собственностью княгини Мещерской. Согласно описанию в переписи 1885 года, Булановской волости Новооскольского уезда хутор Жигайлов - это 160 дворов".
* Загайно - деревня в Краснохолмском районе Тверской обл. в пойме (речной долине) реки Болотея, на окраине лесного и болотистого массива. Показана на Карте Весьегонского уезда 1825 г. - Загайнова. На карте Шуберта 1832 г. - Загаина. На Карте Менде Тверской губ. 1853 г., 14 дворов, и на карте Стрельбицкого 1871 г. - Загайлова. На Карты РККА 1937 г. - Загаино. На O-37 карты СССР. Ярославль, Кострома, Владимир, Иваново, Вологда 1970 г. - Загайно.
Краеведение: "В частности, происхождение деревни Загайново не имеет определенной истории или конкретной даты, поскольку на этот счет существует несколько версий. ... такое название поселению дали в близлежащих селениях, поскольку первые дома были построены за гаем, то есть за лесом. ... сохранившиеся документы Крутихинской Владимиро-Богородицкой церкви свидетельствуют, что название деревни произошло от фамилии ее основателя, которым был Григорий Загайнов, приехавший ... на место будущей деревни в 1684 г.".
* Загайнова - деревня в Далматовском районе Курганской обл. на реке Исеть при впадении водного потока. Показана на карте Стрельбицкого 1871 г., 11 дворов. На Карте Стрельбицкого издания 1919-1921. Восток. На Карте Курганской обл. 1943 г. На O-41 карты СССР. Екатеринбург (Свердловск), Тюмень 1970 г. Краеведение: "Далматов монастырь, основанный в 1644 г. монахом Богоявленского Невьянского монастыря Далматом... В начале 1650-х гг. Далматов монастырь - это уже собственник земли и крестьян".
* Загайново - село в Тальменском районе Алтайского края в лесном массиве в речной долине реки Боровлянка. Показано на Подробной карте Колывано-Воскресенской горной округи 1816 г. На Карте Бийского, Чарышского, Белоярского и Малышевского управительств 1821 г. На Карте Барнаульского округа 1826 г. На Карте Алтайского Горного округа 1870 г. На Карте губерний и областей Российской Империи вдоль Сибирской железной дороги 1893 г. На Карте Барнаульского округа Сибирского края 1926 г. На N-44 карты СССР. Новосибирск, Барнаул 1970 г.
* Загайново - село в Троицком районе Алтайского края., в речной долине на реке Большая Речка при слиянии с речкой Белая, у лесного массива, осн. в 1756 г. Показано на Подробной карте Колывано-Воскресенской горной округи 1816 г. На Карте губерний и областей Российской Империи вдоль Сибирской железной дороги 1893 г. На Карте Алтайского округа 1900 г. На Карте Алтайского горного округа с распределением земель к окончанию землеустройства к 1916 г. На Карте СССР послевоенных лет 1946 г. На N-45 карты СССР. Кемерово 1970 г.
* Загайново - деревня в Угличском районе Ярославской обл. в лесном и болотистом массиве на речке Сабелька в речной долине. Показана на Карте Менде Ярославской губ. 1857 г. - Загайнова, 9 дворов. На O-37 карты СССР. Ярославль, Кострома, Владимир, Иваново, Вологда 1970 г.
* Загайново - поселок (ныне урочище) в Галичском районе Костромской обл. на реке Тора в речной долине, в лесном массиве. Показан на карте Стрельбицкого 1871 г. На O-38 карты СССР. Нижний Новгород (Горький), Йошкар-Ола, Чебокссары 1970 г.
2) Фамилия в старорусских актах. Национальный корпус русского языка
* Разъезжая грамота игумена митрополичьего Покровского монастыря Касьяна и архимандрита митрополичьего Царевоконстантиновского монастыря Матфея на земли во Владимирском у (1498-1500): "А на розъезде у нас были: строитель боголюбской Дементей, да казначей боголюбской Генадей, да Костянтин Павлов, да Фома Гришин, да Никита Шомырь, да староста новосельской Сенка Загайнов...".
Примечание: разъзжая грамота - договор земельных споров, установление границ спорных участков (т.е. межевание, с XV в.).
* По жалобе кунгурских жителей на писцов Григория Анненкова и подьячего Глебова (1686.11): "Великимъ государемъ царемъ и великимъ княземъ ?оанну Алексѣевичю, Петру Алексѣевичю, и великой государынѣ ... княжнѣ СофЄѣ Алексѣевнѣ, всеа ВеликЄя и Малыя и Бѣлыя РосЄи самодержцемъ, бьютъ челомъ сироты вашы, кунгурской земской староста Якушко Загайновъ и во всѣхъ Кунгурцовъ мѣсто ...".
* Перепись дворов в Кунгуре (1683-1687): "Дв. Яковъ Евтропьевъ сынъ Загайновъ, у него сынъ Михайло 11 лѣтъ".
3) Существующая этимология
а) Словарь русского языка XI-XVII вв., АН СССР, М., 1977 ;
http://etymolog.ruslang.ru/doc/xi-xvii_4.pdf
Гай - роща, небольшой лес, 1665 г.
б) Срезневский, Измаил Иванович (1812-1880). Материалы для словаря древне-русскаго языка по письменным памятникам, с. 267;
https://dlib.rsl.ru/viewer/01004012018#?page=267
"Гаи - лес, роща. Село с землею с гаЪ и с дубравами. Жалов. грам. Гал. кн Льва 1301".
* Прим. автора статьи. Вероятно в термине "гай" следует понимать долину реки (воду, хорошо орошаемую долину), т.к. земля и дубрава (лес) указаны.
в) Словарь Академии Российской 1789 г. : "Гай - роща. Слово сие во многих Словенских наречиях и в Малороссии доныне употребительно. Гай - крик галок, "когда оне летают стадами и кричат" (великий гай).
г) ЭСБЕ, 1890-1907
"Гай - древнерусское слово, обозначавшее у охотников стаю грачей, ворон или галок, вследствие чего соколов, приученных к добыванию этих птиц, называли гаевниками. Другое также вышедшее из употребления значение слова Г. - роща, почему, в старину, грачей, живущих часто в рощах, называли и гайворонами".
"Гай, гаёк (Малороссия, юго-западные и южные губ.) - небольшой, густой лиственный лес или роща".
4) Обобщение и вывод
а) Анализ топонимов
Фамилия Загайлов зафиксировано в старорусских актах с XV века, топонимы: Жигагай, Жигайловка, Загайно, Загайнова, Загайново показаны на картах XVIII-XIX вв. Перечисленные поселения имеют общий географический признак - расположены на реках, в речных долинах. Любое поселение зависит от источника воды, есть вода - в поселении возможна жизнедеятельность; вплоть до новейшего времени транспортные пути - реки или натоптанные тропы вдоль рек.
Значение (смысл) топонимов должно быть необходимо связано с речной долиной, указывать на место деревни на реке и одновременно хозяйственную границу (межу). Нам осталось выделить в топонимах общий корень с содержанием - речная долина. Средствами русского языка выполнить это - невозможно, нет подобных терминов. Остается обратиться к языку Бога, сакральному языку иудеохристианства - иврит.
б) Выделим общий корень
Жигагай (первоначально Жигай), Жигайловка, Загайно, Загайнова, Загайново = Жи(га)+гай, Жи+гаево, Жи+гай+ловка, За+гай+но, За+гай+нова, За+гай+ново. Очевидна приставка ЖИ, ЗА + общий корень указанных топонимов - ГАЙ + стандартное русское окончание ЛОВКА, НО, НОВА, НОВО (тоже можно интерпретировать).
Общий корень русск. ГАЙ = библ. ивр. ГАЙ גַּיְא долина, крутая долина, узкое ущелье (долина реки), низменность.
Основное значение (смысл) топонима ГАЙ (и подобных) - долина реки, или просто долина (где есть водные потоки): балка, лощина, крупный овраг; обычное местонахождение поселений на местности.
Географический термин: "Долина (речная) - отрицательная, линейно-вытянутая форма рельефа с однообразным падением. Образуется обычно в результате эрозионной деятельности текучей воды. Речная вода, смывая берега и подошву склонов, постепенно образует речную долину. Малыми формами речных долин являются промоины, балки, овраги, создаваемые непостоянными (периодическими) водотоками. Поймы равнинных рек служат сенокосными угодьями; в безопасных от эрозии местах распахиваются, террасы также используются под посев всевозможных сельскохозяйственных культур, часто служат местом расположения населённых пунктов; склоны долин нередко бывают покрыты лесом.
* См. подобную статью, Гай, Гаево - деревни, этимология; https://www.chitalnya.ru/work/2773824/
Вывод
Народно-литературный (малороссийский) образ "гай" = "роща", закрепленный в Словаре Академии Российской 1789 г. (с. 16) и повторенный лингвистами XIX-XX вв., вытеснил главное значение - топонима "долина реки". Содержание топонима (примеры привели) не соответствует природной действительности - "роще" - вторичный и не главный географический объект, когда рядом массив леса.
Целесообразно рассмотреть топонимы Жигагай (Жигай), Жигайловка, Загайно, Загайнова, Загайново и подобные в связи с библейскими образами и терминологией.
5) Терминология иврита и библейский образ
а) Терминология
Общий вид
+ ЖИГАГАЙ (ЖИГАЙ), ЖИГАЙЛОВКА = ЖИГАГАЙ (ЖИ+ГАЙ), ЖИ+ГАЙ+ЛОВКА русск. оконч. = приставка Ж (ивр. Ш) который, что + библ. ивр. ГАЙ גַּיְא долина, крутая долина, узкое ущелье (долина реки), низменность.
* Пояснение транслитерации
Ж, ЖИ, ЖЕ = букве иврита Ш שְׁ который, что (в отношении места, предмета), пишется слитно с корнем.
См. ЭСБЕ/Ж; Ж - седьмая буква русского алфавита, в церковно-славянском живете. Является новой буквой кириллицы, не имевшейся в греческой азбуке - источнике кириллицы. Знак Ж (старославянское) был изобретен уже составителями славянской азбуки, но его происхождение и отношение к другим каким-либо алфавитам неясно; несомненно только его сходство с глаголическим соответственным знаком (см. Глаголица). В настоящее время знак Ж означает собой согласный звонкий переднеязычный спирант, соответствующий франц. j в jamais и т. д. Параллельный глухой согласный - Ш. ...
+ ЗАГАЙНО, ЗАГАЙНОВО = ЗА+ГАЙ+НО, ЗА+ГАЙ+НОВО русск. оконч. = библ. ивр. ЗЕ זֶה указательное местоимение, определитель предмета, места - тот, это, эта; также который, что + ГАЙ גַּיְא долина, крутая долина, узкое ущелье (долина реки), низменность + НО, НОВО стандартное русское окончание.
б) Источник
* См. стронг иврита 1516 ГАЙ; http://lexiconcordance.com/hebrew/1516.html
* См. Еврейский и халдейский этимологический словарь к книгам Ветхого Завета, Вильно, 1878 г., с. 87.
* См. Лексикон по Стронгу и Дворецкому; https://www.obohu.cz/bible/index.php?styl=WEC&hs=...
Hомер Стронга: H1516. Оригинал: גַּיְא. Произношение: гай′ гай. Часть речи: Существительное. Этимология: вероятно от the same корень as H1466 (abbreviated) - долина. 59 случаев применения в стихах Библии.
в) Библейский образ
* 1 Паралипоменон 4:39: "Они доходили до Герары и до восточной стороны долины (ГАЙ), чтобы найти пастбища для стад своих".
* Неемия 2:13: "И проехал я ночью через ворота Долины (ГАЙ) перед источником Драконовым к воротам Навозным, и осмотрел я стены Иерусалима разрушенные и его ворота, сожженные огнем".
* Исаия 40:4: "всякий дол (ГАЙ, долина, ложбина) да наполнится, и всякая гора и холм да понизятся, кривизны выпрямятся и неровные пути сделаются гладкими".
* Захария 14:5: "И вы побежите в долину (ГАЙ) гор Моих, ибо долина (ГАЙ) гор будет простираться до Асила; и вы побежите, как бежали от землетрясения во дни Озии, царя Иудейского; и придет Господь Бог мой и все святые с Ним".
г) Библейская топонимика
* Гай, גיא - местность, до которой израильтяне преследовали филистимлян после гибели Голиафа от руки Давида (I Сам., 17, 52).
Таким образом, в ходе присоединения "украинных" территорий говорящих на малороссийском диалекте русского языка (XVI- XVII вв.), главное библейское содержание термина "долина реки", претерпело изменение, получило второе значение - "роща, небольшой лес".
Действительно, в долинах рек растут небольшие участки леса или рощи (насажены для предупреждения размыва берегов). Связь термина ГАЙ с содержанием "роща, лесок" было закреплена в Словаре Академии Российской 1789 г., затем продублирована в работах исследователей XIX-XX вв., и стала общепризнанной.