"Мера " всегда была нужна человеку, и всегда не давала ему покоя... Наиболее загадочным явлением в этой области является "Мера Лебега". Это понятие со всей полнотой демонстрирует иррациональность понятия "Мера" вообще. Опуская все математические "заморочки", можно охарактеризовать ее примерно так... Если у множества существует т.н. "внешняя мера" и "внутренняя мера", и они совпадают, то "множество" может быть "измерено"... Ни много - ни мало! Однако, никто ни разу не обратил внимание на одну маленькую деталь. Измеримое Множество по Лебегу может быть бесконечным. По-крайней мере ограничений он нигде не вводил. А это значит, что Множество может быть измерено, оставаясь при этом бесконечным, что является противоречием, т.к. измеримым может являться только нечто конечное, по-крайней мере об этом гласит весь наш житейский опыт ... Другими словами: если имеется отрезок прямой линии длиной в 1 см, то множество точек, входящих в его состав - бесконечно! То есть, БЕСКОНЕЧНОЕ СОДЕРЖИТСЯ В КОНЕЧНОМ!!!... А еще "о математиках говорят как о сухарях. Это ложь"...
Вспомним длину береговой линии Британии, которая может меняться в произвольных пределах...
У замечательного датского карикатуриста Херлуфа Бидструпа (не уверен, что его в наше время помнят широкие массы "трудящихся") есть великолепный "комикс". Барный завсегдатай, сидя за столиком, тупо напивается в одиночку. За столиком, рядом с ним безмерно толстая пожилая и очень несимпатичная дама тоже в одиночку пьет кофе...
С каждой новой выпитой рюмкой завсегдатая с дамой происходят удивительные метаморфозы, она становится все моложе, все стройнее и симпатичней. Завсегдатай в конце концов подсаживется к даме, знакомится и уходит в обнимку с голливудской красавицей (правда еле держась на ногах). Вывод такой - как только все дамы вокруг начинают нравиться, следует тормозить. Один мой давний, еще с детства (чуть ли не в один детсад ходили вместе), друг говаривал неоднократно: "Кто-то говорит, что любит худых блондинок, кто-то говорит, что любит толстых брюнеток, а я люблю их всех, и толстых, и тонких, и блондинок, и брюнеток вместе взятых".
Все это к вопросу о мере.
Открываю Гегеля, Раздел 3 о Мере. И читаю: "Мера определилась как соотношение мер, составляющих Качество различенных самостоятельных Нечто, выражаясь привычнее, вещей" (Заглавные буквы мои) Ну что еще добавить к этому? То есть, любая Вещь Гегелем определяется как "самостоятельное Нечто". Каждое Нечто обладает "Качеством", или набором некоторых существенных признаков, которые (и только они) позволяют одну "Вещь" отличать от другой. Тут то у него и появляется "Мера". Все вроде "просто до безобразия". Вопрос только в том, а как это самое "Качество" определить, уж не говоря о том, а как его потом "измерить". Тут у Гегеля никаких рецептов нет... Да и быть не может, как это ни странно. Мы очень легко можем отличить кошку от собаки, но как только начнем разбираться, как мы это делаем, тут же упремся в тупик. И чем больше существенных признаков у кошки и собаки мы начнем сравнивать, тем больше будем запутываться. И в конце концов придем к парадоксу, что у них практически все устроено одинаково, и чем дальше мы будем уходить по уровням сопоставления признаков, тем все меньше и меньше будет существенных различий. Это, кстати, является одной из краеугольных проблем в теории распознавания образов, где остановиться в процессе определения Качества объекта, для того чтобы его можно было однозначно "назвать". Вот и получается, что в процесс нашего распознавания "вещей" очевидным образом вмешивается нечто иррациональное, и никуда от него опять не деться.