# Б. О кольцах Евклида, Эйлер

Наталья Григорьевна Прохорова

КАК СЧИТАТЬ ГОДЫ НОСТРА В КОЛЬЦАХ ЕВКЛИДА, дополнения


К выбранным способам КТО и классам вычетов с примерами следует сделать дополнения для более полной ясности. НОД разный , что делать?


Кольца бывают разные. Я рассмотрю уже не примеры, а чисто теорию. По этим принципам предстоит считать такие простые непростые кольца.


а) Для алгоритма Евклида в кольцах или для КТО . Для ЛДУ в кольцах вида a=bx+r может получиться так, что а/в не имеют общего НОД или он теряется где-то в кольце. Для этого изощрились и ввели понятие главного идеала , то есть множество а={все делители а}, если b⊂а,то 'b' тоже входит в множество главных идеалов. Сюда же относится n×b ; b-c, где b∈a и c∈a . Это просто и понятно. А вот если 'a' и 'b' не имеют общего НОД, тогда (а-b)∈I при этом a∈I и b∈I , где I - идеал в кольце R . Для (a+b) то же самое. Для остатков, вытащила из Виленкина , a∈I ⋀ r∈R→ r×a∈I , ⋀ - знак логической коньюкции по всей видимости , стрелка → - знак отображения множества , R - кольцо. Любое кольцо главных идеалов есть НОД кольцо, говорит теория колец. Любое кольцо главных идеалов факториально.

Из вышесказанного видно, как близко связана модульная математика и алгоритм Евклида, не так ли ?


б) Если бы НОД двух чисел был только 1 , то можно было бы использовать формулу арифметической прогрессии по формуле Дирихле . Я очень сомневаюсь при таком обилии колец всё время получать НОД двух чисел единицу, например 67 и 68, так как на практике Ностр бы замучился искать общий множитель. НОД(a,b)=1

a, a+b....a+(n-1)b,+... - только простые числа

Это явно не наш вариант.


II. Непосредственно для перебора по КТО. В интернете полно примеров расчёта по КТО в сторону разложения, а в обратную сторону сведения весьма куцые , особенно для массива, поэтому приходится возвращаться не к переписыванию примеров друг у друга, а к книгам Виленкина и Бухштаба.

Например, 2 сравнения : а≡b(modc) , a≡y(modz). Для взаимно простых НОД(c, z)=1 система эквивалентна modc×z , b+с×t≡ y(modz), тогда c×t≡y-b(modz) , решение системы x≡x1 modcz. Остатки получаются РАЗНЫЕ про ДВУХ РАЗНЫХ модулях, которые ВЗАИМНО ПРОСТЫЕ . Здесь те же большие сомнения , что всегда для многочисленных колец Ностра будет иметься два взаимно простых числа, уж слишком много цифр имеется в массивах. Как-то я к кольцам больше расположена и классам вычетов.


III. Сравнение.

а) Сравнение может быть по модулю (mod I - главный идеал) при равных остатках, например, при ОБЩЕМ модуле 32 нужно получить ОБЩИЕ остатки, при этом a≡b(modm).


a=mq1+r

b=mq2+r

Здесь идёт привязка по модулю , который есть главный идеал по каждому кольцу.

(a-b)=m(q1-q2), (a-b)=m×t

Два числа a и b сравнимы по модулю тогда и только тогда, когда имеют равные остатки при делении на m.


б) Сравнение для разных модулей. Модули РАЗНЫЕ и НЕ ВЗАИМНО ПРОСТЫЕ .

a=m1 q1+r

b=m2 q2+r2

a≡b(modm) и a≡b(modn), при этом m⋮n, тогда (a-b)/n тогда по свойству транзитивности a≡b(modn), Например m=16 , n=4.

В этом примере используются все свойства эквивалентности, включая и сложение (a+b) и вычитание (a-b) , и другие, включая рассмотренное выше свойство транзитивности.

На деле модульная математика очень простая и увлекательная.


II. IV. Модуль m не делится на n , но они имеют общий множитель. Например : НОД(9,15)=3

Модули РАЗНЫЕ и НЕ ВЗАИМНО ПРОСТЫЕ .

a=m1 q1+r

b=m2 q2+r2

Здесь уже Виленкин отдыхает, он и так нам сильно помог, наш же расчёт такой:

Например: х=4(mod15), х=2(mod15) 4-2=2 2 не делится на 3 , поэтому система уравнений не имеет решения.


Вот что нам может встретиться в алгоритме Евклида, который отнюдь не так прост при решении в обратную сторону. Считать ли сначала кольца, а потом даты или сразу и годы, и даты, не знаю, нужно подбирать цифры Ностра. Если считать годы, это кольца Евклида, а с датами - уже система сравнений.


С расчётом по годам более менее ясно, массивы лет и дат имеются, нужно лишь подобрать правильно перебор по всем массивам.

Нам же впору подумать о том, как соединять годы и шифр Ностра (цифровая часть), а также доработать формулу перебора по катренам , шифр Ностра (буквенная часть) для катренов из альманахов, центурий , Галена. Злосчастный шифр наконец обрёл точку сдвига 'L' . Второй шифр - это ряд asaavoir mon для 58 шестистиший. Пока я подсчитала частично часть кода, относящуюся к шифру . В коде встречаются разные разделы математики, это уже комбинаторика, которая должна совместиться с теорией чисел. Не хватает небольшого компонента расчёта и как он выглядит, я не знаю. Если не найдётся, то катрены и годы будут находиться подсчитанными отдельно друг от друга.

Пресловутые 'ключи' 1, 1 или 1, 2 или как-то ещё - чушь собачья, которую придумали малограмотные люди, но эта чушь от графоманов широко распространена за неспособностью понять математику глубже и от невежества.

Всё гораздо сложнее, как вы видите.


Литература :


Виленкин Н.Я. 'Алгебра и теория чисел'. М, 'Просвещение', 1984.